Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Explication limite Question a l R Comment procéder pour démontrer en utilisant la dé ? nition que limf x l x a Réponse Soit on cherche un tel que x jx aj jf x lj Le problème est de trouver un tel que x jx aj jf x lj Comme la résolution de l ? inégalité jf

Question a l R Comment procéder pour démontrer en utilisant la dé ? nition que limf x l x a Réponse Soit on cherche un tel que x jx aj jf x lj Le problème est de trouver un tel que x jx aj jf x lj Comme la résolution de l ? inégalité jf x lj n ? est pas toujours facile alors voici une méthode qui consiste e Etapes à suivre Mettre f x l sous forme de x a g x ce qui est toujours possible et on écrit f x l x a g x jf x lj jx aj jg x j Se débarrasser des deux barres de la valeur absolue de g x en étudiant le signe de g x dans un intervalle centré en a qu ? on choisira et que je nommerai a c a c Dans a c a c majorer jg x j par une constante Comment choisit on cet intervalle centré en a On le choisit de telle sorte que le signe de g x ne change pas sur cet intervalle et que l ? on puisse sur cet intervalle majorer jg x j par une constante On obtient x a c a c jf x lj jx aj jg x j Maintenant on résoud l ? inégalité jx aj jx aj jx aj jx aj Comme x a c a c est équivalente à jx aj c On obtient d ? une part x jx aj c jf x lj jx aj jg x j jx aj Et d ? autre part x jx aj jx aj Donc x jx aj c et jx aj jf x lj jx aj Comme jx aj c et jx aj jx aj min c On choisit alors min c C Exemple d ? application Commençons par deux exemples simples Montrer que limf x o? f x x x x Soit on cherche un tel que x jx aj jf x j On a jf x j x x x x a Ecrivons x x sous forme de x g x est une racine de x x et x x x x Donc x x jx j jx j b Etudions le signe de x au voisinage de Si x alors x Si x alors x Choisissons alors comme intervalle centré en l ? intervalle suivant dans cet intervalle le signe de x est positif donc jx j x Remarque on aurait pu choisir un autre intervalle centé en comme l ? intervalle ou bien ou bien des intervalles centés en et qui gardent un signe constant c Majorons jx j sur x x x x jx j x x x jx j jx j jx j d Résolvons l ? inégalité jx j jx j jx j C e Comme x jx j on a D ? une part x jx j x x jx j jx j jx j d après c et d ? autre part x jx j