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Lois de densite lois de probabilites continues exercices 4

Asie Enseignement spéci ?que EXERCICE points commun à tous les candidats Les trois parties de cet exercice sont indépendantes Les probabilités seront arrondies au millième Partie A Un concurrent participe à un concours de tir à l ? arc sur une cible circulaire A chaque tir la probabilité qu ? il atteigne la cible est égale à Le concurrent tire quatre èches On considère que les tirs sont indépendants Déterminer la probabilité qu ? il atteigne au moins trois fois la cible Combien de èches le concurrent doit- il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois Partie B Entre deux phases du concours pour se perfectionner le concurrent travaille sa précision latérale sur une autre cible d ? entra? nement représentée ci- contre Pour cela il tire des èches pour essayer d ? atteindre une bande verticale de largeur cm en grisé sur la ?gure le plus près possible de la ligne verticale centrale On munit le plan contenant la bande verticale d ? un repère la ligne centrale visée est l ? axe des ordonnées On note X la variable aléatoire qui à toute èche tirée atteignant ce plan associe l ? abscisse de son point d ? impact A C ?? ?? ?? ?? ?? B ?? Ainsi par exemple si la èche atteint le point A le tireur a raté la bande et X prend la valeur - si elle atteint le point B l ? impact est à la limite de la bande et X prend la valeur - si elle atteint le point C l ? impact est dans la bande et X prend la valeur ?? On suppose que la variable aléatoire X suit une loi normale d ? espérance et d ? écart-type Lorsque la èche atteint le plan déterminer la probabilité que son point d ? impact soit situé hors de la bande grisée Comment modi ?er les bords de la bande grisée pour faire en sorte que lorsque la èche atteint le plan son point d ? impact soit situé à l ? intérieur de la bande avec une probabilité égale à Partie C La durée de vie exprimée en heures du panneau électrique a ?chant le score des concurrents est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre ? ?? exprimé en h ?? Quelle est la probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant heures Restitution organisée des connaissances Dans cette question ? désigne un réel strictement positif On rappelle que l ? espérance mathématique de la variable aléatoire T suivant une loi exponentielle de paramètre ? x est dé ?nie par E T lim ?te ?? ?t dt ? x ? ? a On considère la fonction F dé ?nie pour tout réel t par F t ??t ?? ? e ?? ?t Démontrer que la fonction F est une primitive sur R de la fonction f dé ?nie pour tout réel t par f t ?te ?? ?t b En déduire que