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Nash tipe2005 THÉORIE DES JEUX ÉQUILIBRES DE NASH INDEX INTRODUCTION Dé ?nition d'un jeu Historique et applications LES JEUX MATRICIELS Dé ?nition Le Théorème fondamental Principe de la preuve UN PREMIER EQUILIBRE DE NASH Hypothèses L'équilibre Principe d

THÉORIE DES JEUX ÉQUILIBRES DE NASH INDEX INTRODUCTION Dé ?nition d'un jeu Historique et applications LES JEUX MATRICIELS Dé ?nition Le Théorème fondamental Principe de la preuve UN PREMIER EQUILIBRE DE NASH Hypothèses L'équilibre Principe de la preuve Applications EQUILIBRE DE NASH GENERALISATION Hypothèses L'équilibre Principe de la preuve Applications RECHERCHE EFFECTIVE DES EQUILIRBES Algorithme de résolution des jeux matriciels Approche di ?érentielle Limites des équilibres de Nash BIBLIOGRAPIE ANNEXE ILLUSTRATIONS C INTRODUCTION dé ?nition d'un jeu dé ?nition courante Des joueurs obtiennent des béné ?ces en fonction de leurs choix qui se font selon des règles exemples un jeu de carte jouer en bourse en mathématiques Quelques hypothèses les joueurs sont rationnels ils cherchent uniquement à maximiser leurs gains indépendamment de toute autre considération Ils sont supposés ''su ?samment intelligents'' c'estàdire qu'ils ne feront pas d'erreurs de jugement ou de calcul Les règles permettent aux joueurs des stratégies On appelle P Pn les n joueurs On appelle Si l'ensemble des stratégies du joueur Pi exemple jeu de pile ou face il s'agit d'un jeu à deux joueurs Chacun parie sur ''pile'' ou sur ''face'' S S pile face Chaque nupplet s sn donne lieu à une attente pour chaque joueur selon le cas appelée espérance gain satisfaction ou utilité il s'agira d'un nombre réel représentant son gain ou son espérance de gain à la ?n du jeu ou d'un tour du jeu l'espérance de Pi sera représentée par une fonction ui S ? ? Sn elle indique ce que peut espérer gagner le joueur i quand chaque joueur k joue la stratégie sk le gain de i est le nombre réel ui s sn Dans le cas du jeu de pile ou face si P parie sur pile et P sur face stratégies pures u Probabilité de pileMontant parié par P Probabilité de faceMontant parié par P u Probabilité de faceMontant parié par P Probabilité de pileMontant parié par P donc si le jeu n'est pas truqué si P parie A et P parie B u BA et u AB Il est parfois pratique de considérer un pseudojoueur P qui représente les événements aléatoires jets de dés par exemple La stratégie de P est alors la distribution de probabilité des issues possibles De même les joueurs peuvent donner à leurs choix un caractère aléatoire a ?n de se protéger du risque d'être trop prévisibles par leurs adversaires Si chaque joueur a le choix parmi un ensemble ?ni d'alternatives c cm cela se fait en attribuant à chaque coup une probabilité i e en choisissant un mupplet ? m x xn ?? m dans le m simplexe i e tel que ?? i ?? m xi ? et xi i on interprète alors xi comme la probabilité que le joueur choisisse le coup i On obtient alors une stratégie mixte La stratégie consistant à toujours choisir un certain cj o? j est ?xé est appelée stratégie pure Cl'espérance du joueur est alors ? m Ek S xi? uk S i