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Polynomes c Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry POLYNÔMES Dans tout ce chapitre K désigne les corps R ou C Polynômes à une indéterminée à coe ?cients dans K Dé ?nition Dé ?nition Polynôme On appelle polynôme à une indéterminée à coe ?cients dans K tou

c Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry POLYNÔMES Dans tout ce chapitre K désigne les corps R ou C Polynômes à une indéterminée à coe ?cients dans K Dé ?nition Dé ?nition Polynôme On appelle polynôme à une indéterminée à coe ?cients dans K toute suite presque nulle i e nulle à partir d ? un certain rang d ? éléments de K Si on choisit de noter X l ? indéterminée une telle suite an nulle à partir du rang p se note alors a a X ? apXp ou encore anXn cette somme étant en fait ?nie n L ? ensemble des polynômes à une indéterminée à coe ?cients dans K se note alors K X Attention L ? indéterminée X n ? est pas un élément de K Attention Contrairement à ce qui se passait auparavant on ne confondra pas polynômes et fonctions polynomiales Remarque L ? ensemble des suites presque nulles de KN se note K N On peut donc identi ?er K X et K N Dé ?nition On appelle monôme tout polynôme du type ?Xk avec ? ?? K On appelle polynôme constant tout polynôme du type ?X ? avec ? ?? K On appelle polynôme nul le polynôme correspondant à la suite nulle On appelle coe ?cient dominant d ? un polynôme le coe ?cient de son monôme de plus haut degré On appelle polynôme unitaire un polynôme dont le coe ?cient dominant est égal à Remarque Si P est un polynôme non nul de co ?cient dominant ? alors P ? est un polynôme unitaire on dit que c ? est le polynôme normalisé de P Proposition Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coe ?cients sont égaux Dé ?nition Opérations sur les polynômes ? ? Soient P anXn et Q bnXn deux polynômes de K X et ? ?? K n n ? Addition On dé ?nit le polynôme P Q par an bn Xn n http laurentb garcin free fr Cc Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry ? Multplication On dé ?nit le polynôme P ? Q par cnXn avec cn akbl n k l n ? Multiplication par un scalaire On dé ?nit le polynôme ? P par ?anXn n ? Composition de polynômes On dé ?nit le polynôme P Q P Q par anQn n Remarque Dans la dé ?nition du produit on véri ?e que la suite cn est presque nulle De plus cette dé ?nition du produit est telle que Xn ? Xp Xn p pour tous n p ?? N Remarque Dans le cas particulier o? Q X le polynôme P Q vaut P X Le polynôme P peut donc aussi bien être noté P ou P X Exemple La composition consiste simplement à remplacer l ? indéterminée X par un polynôme Par exemple si P X X alors P X ?? X ?? X ?? P X X X ou encore P X ?? X ?? X ?? Si P Q ?? K X