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Recurrence Sommes produits récurrence ECE Lycée Carnot septembre Pour ce deuxième chapitre un peu de théorie puisque celui-ci va nous permettre C de dé nir quelques notations et méthodes supplémentaires qui nous seront bien utiles par la suite ou peutêtre

Sommes produits récurrence ECE Lycée Carnot septembre Pour ce deuxième chapitre un peu de théorie puisque celui-ci va nous permettre C de dé nir quelques notations et méthodes supplémentaires qui nous seront bien utiles par la suite ou peutêtre devrais-je dire plutôt pour les suites puisqu'il s'agit du premier thème faisant intervenir de façon assez intensive le symbole somme et les récurrences ? Symbole et propriétés La somme est l'opération la plus élémentaire qui soit en mathématiques vous l'utilisez d'aileurs fréquemment depuis une bonne dizaine d'années maintenant Mais B autant sommer deux ou trois nombres est chose aisée autant l'a aire se complique quand on a besoin de faire la somme d'un grand nombre de C termes voire même d'une in nité comme on le verra un peu plus tard E Plutôt que de recourir à des petits points à la fois peu rigoureux et ine caces on utilise une notation un peu plus complexe au premier abord mais qui C C simpli e grandement les calculs une fois ma? trisée i Dé nition Le C symbole signi e somme Plus précisément la notation ai se lit par i exemple somme pour i variant de à des ai et peut se détailler de la façon suivante i ai a a a a a a i i Exemples On notera i i i Dans l'autre sens i i Remarque ? Les bornes choisies et ne sont que des exemples on peut prendre n'importe quoi y compris i n des bornes variables par exemple ai an an an an ?? an Par contre i n la borne de départ doit toujours être plus petite que la borne d'arrivée sinon la somme est nulle ? La lettre i est une variable muette autrement dit on peut la changer par n'importe quelle autre lettre sans changer la valeur de la somme On choisit traditionnellement les lettres i j k etc pour les indices de sommes ? Dans une somme la variable muette prend toujours toutes les valeurs entières comprises entre la valeur initiale et la C valeur nale Ci n Exemple a n ?? a faites bien attention au nombre de termes que contient la somme i B Proposition Règles de calcul sur les sommes On a le droit d'e ectuer les opérations suivantes i n i n ? factoriser par une constante axi a xi i i i n i n i n ? séparer ou regrouper des sommes de mêmes indices ai bi ai bi i i n i p i i i n ? séparer les indices en deux relation de Chasles ai ai ai i i i p i n j n ?? ? faire un changement d'indice ai aj on a posé j i ?? i j C i n Remarque Tenter de simpli er d'une façon ou d'une autre aibi est par contre une très bonne i manière de s'attacher la rancoeur tenace de votre professeur les sommes et produits ne font pas bon ménage Démonstration par récurrence