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Td groupes Université Paul Sabatier Préparation à l ? Agrégation EXERCICES SUR LES GROUPES Toulouse Année - Exercice Groupes diédraux Soit Pn un polygone régulier du plan à n cotés représenté par exemple par les racines n-ièmes de l ? unité dans le plan c

Université Paul Sabatier Préparation à l ? Agrégation EXERCICES SUR LES GROUPES Toulouse Année - Exercice Groupes diédraux Soit Pn un polygone régulier du plan à n cotés représenté par exemple par les racines n-ièmes de l ? unité dans le plan complexe On note Dn le groupe appelé n-ième groupe diédral des isométries directes et indirectes du plan préservant Pn Montrer que Dn est d ? ordre n Montrer que le sous-groupe Dn constitué des isométries directes est cyclique d ? ordre n Dn Z nZ Dresser la listes des classes de conjugaison dans Dn Exercice Groupe des quaternions On note H le sous-groupe de GL C appelé groupe des quaternions engendré par les trois matrices I ?? J i i K i ??i Calculer l ? ordre de H exhiber ses sous-groupes ses sous-groupes distingués et ses quotients Est-il isomorphe au groupe diédral D Quel est le rapport avec le corps non commutatif des quaternions Exercice Groupes d ? ordre Montrer de façon élémentaire aucun argument sophistiqué au-delà du théorème de Lagrange que tout groupe d ? ordre non cyclique est isomorphe au groupe symétrique S Indication on pourra montrer qu ? un tel groupe contient un couple d ? éléments d ? ordre et ne commutant pas Exercice Signi ?cation de l ? opération de conjugaison sur des exemples Soit p un projecteur d ? un sous-espace vectoriel F d ? un espace vectoriel E sur un supplémentaire G et f ?? GL E Caractériser le conjugué f p f ?? Même question pour une symétrie s par rapport à un sous-espace vectoriel F d ? un espace vectoriel E parallèlement à un supplémentaire G Soit n ?? N ? ?? Sn et a ak un k-cycle de Sn Calculer ? a ak ? ?? soit G un groupe E et F deux sous-ensembles de G et ? ?? G Soit g un élément de G tel que gE ? F Quelle propriété véri ?e son conjugué ?g ? ?? Inventer des exos similaires Exercice Exposant d ? un groupe abélien et application Soit G abélien et a b d ? ordres ?nis premiers entre eux Montrer que ordre ab ordre a ordre b Soit G un groupe abélien ?ni et soit m le maximum parmi les ordres des éléments de G Montrer que l ? ordre de tout élément de G divise m m est appelé l ? exposant de G Soit k un corps et G ? k ? un sous-groupe ?ni du groupe multiplicatif k ? Montrer que G est cyclique Indication on pourra considérer les racines du polynôme Xm ?? ?? k X o? m est l ? exposant de G Qu ? en déduire pour le groupe Z pZ ? o? p est premier Et pour le groupe C ? Exercice Groupes abéliens in ?nis Montrer que Z n ? est pas isomorphe à Z et que Q n ? est pas isomorphe à Q Montrer que le groupe abélien Q n