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Td6 corrige 3 CPP ?? Corrigé du TD no Algèbre générale I J Gillibert Exercice On considère les applications f et g dé ?nies par f R ?? ? R x y ?? ? xy g R ?? ? R x ?? ? x x Les applications f g et g f sont données par f g R ?? ? R x ??

CPP ?? Corrigé du TD no Algèbre générale I J Gillibert Exercice On considère les applications f et g dé ?nies par f R ?? ? R x y ?? ? xy g R ?? ? R x ?? ? x x Les applications f g et g f sont données par f g R ?? ? R x ?? ? f g x f x x x g f R ?? ? R x y ?? ? g f x y g xy xy x y a L ? application f est-elle injective En d ? autres termes est-il possible de retrouver un couple x y à partir de la donnée de son image par f à savoir le produit xy La réponse est évidemment non mais pour préciser cela il convient de fournir un exemple On peut prendre celui-ci f f ce qui montre que f n ? est pas injective b L ? application f est-elle surjective Autrement dit est-il vrai que tout élément t ?? R est l ? image par f d ? un certain couple Pour répondre positivement à cette question il su ?t de remarquer que f t t donc f est surjective c L ? application g est-elle injective Oui car la donnée du couple x x permet de retrouver x Pour répondre à la question en se servant de la dé ?nition on se donne deux réels x et x tels que g x g x c ? est-à-dire tels que x x x x Alors x x par identi ?cation Ainsi la relation g x g x implique que x x ce qui est la dé ?nition de l ? injectivité de g d L ? application g est-elle surjective Non car n ? admet pas d ? antécédent par g en e ?et si c ? était le cas alors on aurait trouvé un réel x tel que x x c ? est-à-dire tel que x et x ce qui est impossible e Gr? ce à l ? analyse réelle théorème de la bijection on voit que f g R ? R est bijective en particulier elle est injective et surjective f Comme f n ? est pas injective g f n ? est pas injective En e ?et il su ?t de récupérer le même exemple que pour f g f g f g Comme g n ? est pas surjective g f n ? est pas surjective En e ?et n ? admet pas d ? antécédent par g donc n ? admet pas non plus d ? antécédent par g f CExercice On considère l ? application f dé ?nie par f R ?? ? R x ?? ? x ?? x Soit y un réel ?xé On souhaite déterminer f ?? y c ? est-à-dire l ? ensemble des antécédents de y par la fonction f ou encore l ? ensemble des solutions x de l ? équation f x y Or cette équation s