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Universit ?e Pierre et Marie Curie Master IFMA Cours ??M ?ethodes num ?eriques d ?eterministes ? - Corrig ?e du TP E ?quations aux d ?eriv ?ees partielles elliptiques En compl ?ement de cette correction des scripts Scilab correspondant achaque exercice sont t ?el ?echargeables a l ? adresse suivante http proba jussieu fr pageperso roux enseignements ifma meth det html Exercice On discr ?etise le segment en ?x ?x ou ?x N est le pas de temps On va donner une approximation de u n ?x not ?ee un La m ?ethode des di ? ?erences ?nies s ? ?ecrit ici pour f x x un un ?? ?? un ?x n ?x n ?? N u uN Les valeurs u et uN ?etant ?x ?ees les inconnues du probl eme sont les un n N L ? ?equation se r ?ecrit alors matriciellement comme ?x AN F EB u F EC F ED uN F F F F F F ?x F EB F EC F EC F EC F ED N F F F F F F F F F F ou l ? on a not ?e F EB F F ?? F EC F EC ?? F F F F F EC AN F EC F EC F EC F EC F EC F F F F F F F F F F F F F EC F EC F ED ?? F F F F F F ?? On obtient alors le vecteur des un n N en inversant la matrice AN La solution exacte de l ? ?equation u ?? ?? x x est u x x ax b et on obtient les constantes a et b a l ? aide des conditions au bord ici u x x ??x En tra cant sur un m eme graphique la solution approch ?ee et la solution exacte on remarque que les deux courbes sont extr emement proches sous Scilab l ? erreur est de l ? ordre de ?? En fait on a vu en cours que la m ?ethode des di ? ?erences ?nies est exacte pour un second membre lin ?eaire ce qui est le cas ici L ? erreur obtenue est donc uniquement due aux erreurs d ? arrondi qui sont bien de l ? ordre de ?? sous Scilab Exercice On pose ?x N et on d ?e ?nit P N v ?? C ??n ?? N v n ?x n ?x a ?ne v v l ? espace des fonctions de H a ?nes par morceaux sur la subdivision ?x ?x La m ?ethode des ?el ?ements ?nis consiste a trouver l ? unique fonction uN de P N v ?eri ?ant ?? uN ?? x v ?? x dx f x v x dx L ? espace PN ?etant de dimension ?nie il su ?t de v ?eri ?er que la fonction uN v ?eri ?e si v parcourt une base de PN La base la plus naturelle