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Chap 2 transformee de laplace

Chapitre II Transformée de Laplace - Introduction L ? étude des système passe par la manipulation des équations di ?érentielle -La résolution des équations di ?érentielle n ? est pas toujours simple - La transformée de Laplace est un outil mathématique puissant utilisé pour la résolution des équations di ?érentielles - Dé ?nition Soit f une fonction de la variable réelle t temps dé ?nie dans R et supposée nulle pour t on appelle transformée de Laplace de f la fonction F dé ?nie par Avec p variable complexe On note F p L f t et f t L- F p F p est la transformée de Laplace de f t F t est l ? original de F p Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - Exemples - L ? échelon u t Appelée aussi Existence ou fonction d ? Heavyside Elle correspond à un changement brusque de consigne saut Elle est dé ?nie par u t t Echelon unitaire Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - La rampe r t Appelée aussi échelon e vitesse elle est dé ?nie par r t t ? Rampe ou échelon e vitesse Intégration par partie Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - Impulsion de Dirac ? t Elle est dé ?nie par ? t T t T Impulsion de Dirac Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - Propriétés de la transformée de la Place - Linéarité f t a f t b f t L F p a F p b F p a et b sont des constantes - Facteur d ? échelle g t f k t L G p p F k k k R - Translation g t f t e-a t L G p F p a Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - Théorème du retard Soient les fonctions f t et g t f t L F p et g t f t ?? f t g t t t g t présente un retard par rapport à f t La transformée de Laplace de g t est g t f t- L G p F p e- p Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - Dérivation Ordre Ordre n Si les conditions initiales sont nulles alors on a Ordre Ordre n Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - Intégration En considérant les conditions initiales nulles on a - Théorème des limites Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur ?nale Cours Régulation automatique et techniques de comptage CChapitre II Transformée de Laplace - Utilisation de la transformée de Laplace La transformation de Laplace permet de remplacer une équation di ?érentielle dans le domaine temporel par une équation polynomiale dans le domaine symbolique Elle est particulièrement adaptée à la résolution