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Corrige opt serie1 U M M B - Faculté des Sciences-lic Maths - - Responsable Khodja Le Corrigé de la Série Notions fondamentales Exercice Soient X et Y deux ensembles convexes Montrons que X Y est un ensemble convexe Par dé ? nition X Y fz x y x X et y Y g

U M M B - Faculté des Sciences-lic Maths - - Responsable Khodja Le Corrigé de la Série Notions fondamentales Exercice Soient X et Y deux ensembles convexes Montrons que X Y est un ensemble convexe Par dé ? nition X Y fz x y x X et y Y g X Y est convexe ssi z z X Y et z z X Y Soit z X Y alors x X et y Y telque z x y Et de même soit z X Y alors x X et y Y telque z x y ainsi z z x y x y x x y y or x x X car X est convexe et y y Y car Y est convexe D ? o? z z X Y par conséquent X Y est un ensemble convexe X Y n ? est pas toujours un ensemble convexe On prend comme exemple X Y et x X Y x X Y alors x x Donc X Y n ? est pas un ensemble f x y R x y g Soient a x y A et a x y A telsque x y y x et y x A est convexe ssi a a Exercice i A f x y R x y g Soient a x y A et a x y A telsque x y y x et y x A est convexe ssi a a A et a a A ceci est équivalent à montrer que x x y y A qui est encore équivalent à monter que x x y y R et x x y y On a x x y y R R est convexe et x x y y x x x x y y or on a a x y A y x y x de même a x y A y x y x Ainsi x x y y x x x x x x x x x x x x par conséquent A est un ensemble convexe ii B f x y R x y et y g B est convexe ssi b b B et b b x y B et b x y B et telsque x y x y B car par conséquent B n ? est pas un ensemble convexe b B Exercice soit f D Rn R avec D un ensemble convexe et f convexe sur D On dé ? nit l ? ensemble Et fx D f x tg Montrons que Et est un ensemble convexe CEt est un ensemble convexe ssi x x Et et x x Et x x D x x Et f et x x t x x Et on aura alors x x D et comme D est un ensemble convexe alors x et f x x f x f x car f est convexe t t car x x Et t par conséquent Et est un ensemble convexe ? x D Soit g une fonction a ne sur