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Corrige td2 lm360 LM Math ?ematiques TD de topologie et calcul di ? ?erentiel ?? Corrig ?e de la Feuille Continuit ?e suites parties denses Groupe de TD Exercice Soit ?A E ? la fonction caract ?eristique de A ? E ?A x si x ?? A ?A x sinon a On munit de la

LM Math ?ematiques TD de topologie et calcul di ? ?erentiel ?? Corrig ?e de la Feuille Continuit ?e suites parties denses Groupe de TD Exercice Soit ?A E ? la fonction caract ?eristique de A ? E ?A x si x ?? A ?A x sinon a On munit de la topologie discrete Montrer que ?A est continue en x si et seulement si x ?? fr A b Donner une condition pour que ?A soit continue sur E et un exemple ou ?A n ? est continue en aucun point de E Corrig ?e a Tout d ? abord pour la topologie discrete de et sont des voisinages de et respectivement Donc si f E ? est continue en x il existe un voisinage U de x tel que f U ? f x i e que f est constante sur U La r ?eciproque est bien su r vraie Par cons ?equent f n ? est pas continue en x si et seulement si quel que soit le voisinage U de x il existe y et z dans U tels que f y et f z Si f est la fonction caract ?eristique de A cela revient a dire que tout voisinage de x rencontre A et son compl ?ementaire On a vu dans l ? exercice de la feuille de TD que ceci ?equivaut a x ?? fr A b Si A esta la fois ouvert et ferm ?e dans E alors la frontiere de A est vide par cons ?equent ?A est continue Si E est le plan R muni de la distance usuelle et A est l ? ensemble Q des points a coordonn ?ees rationnelles alors ?A n ? est continue nulle part Exercice Soient X et Y des espaces topologiques et une application f X ? Y Montrer que f est continue si et seulement si pour toute partie A de X on a f A ? f A Corrig ?e Supposons f continue Alors f ?? f A est ferm ?e dans X Comme on a A ? f ?? f A prenez la peine de red ?emontrer cette inclusion si vous l ? avez oubli ?ee ou si vous avez un doute vous devez savoir utiliser les images directes et r ?eciproques d ? ensembles et que f A ? f A on a A ? f ?? f A Or f ?? f A ?etant ferm ?e il contient le plus petit ferm ?e contenant A c ? est a dire que A ? f ?? f A ce qui implique f A ? f A R ?eciproquement soit F un ferm ?e de Y Posons A f ?? F alors f A ? F Par hypothese f A ? f A donc f A ? F puisque F est ferm ?e On a alors A ? f ?? F A Donc A est ferm ?e On vient de montrer que l ? image r ?eciproque de tout ferm