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Corrige td5 1 MDI Statistiques Corrigé Feuille de travaux dirigés Solution Exercice Le rapport de vraisemblance s ? écrivant Y det ? exp det ? ?? Y t ? ?? ?? ? ?? Y le test de Neyman Pearson est Y ? t ?? Y t ? ?? ?? ? ?? Y ? log det ? det ? t au niveau le

MDI Statistiques Corrigé Feuille de travaux dirigés Solution Exercice Le rapport de vraisemblance s ? écrivant Y det ? exp det ? ?? Y t ? ?? ?? ? ?? Y le test de Neyman Pearson est Y ? t ?? Y t ? ?? ?? ? ?? Y ? log det ? det ? t au niveau le seuil t étant choisi de façon tel que PY ??N ? Y ? t L ? absence de signal correspondant au cas o? ?X il s ? agit de tester l ? hypothèse nulle H ?X contre l ? alternative H ?X En désignant par In la matrice n ? n unité on se trouve dans le cadre de la question précédente avec ? ?V In et ? ?V ?X In et le test de Neyman-Pearson au niveau sécrit n i Yi ? s o? le seuil s est tel que PY ??N ?V n i Yi ? s Sous H la loi de Yi ?V étant N le seuil est donc s ?V q ?? o? q ?? désigne le quantile de niveau ?? de la loi du chi-deux à n degrés de liberté Solution Exercice Dans le cas général la variable aléatoire T X est gaussienne en tant que combinaison linéaire de gaussiennes Son espérance est E X A ?? E X B A ?? B ? Sa variance est par indépendance Var T X Var X A Var X B nA nB ? ?T Sous l ? hypothèse nulle on a donc T X ?? N nA nB ? N ?T L ? argument de la question montre que sous H ? avec ? A ?? B T X ?? N ? ?T et sous H T X ?? N ?T L ? observation étant T X le rapport de vraisemblance s ? écrit donc Z p T X p T X exp ?? T X ?? ? ?T exp ??T X ?T ? ?? T X ?? ? T X exp ?T ? T X ?? ? exp ?T ? ? T X ?? ?? CMDI Statistiques o? t ? ? ? t est une fonction strictement croissante Le test de Neyman- F F F F Pearson basé sur l ? observation T X est d ? après le cours de type si Z c ? T X F F sinon o? c est tel que P ? Z c Or t ? ? ? t étant strictement croissante pour tout c ?? R il existe C ?? R tel que Z c ? ?? ? T X ? c ? ?? T X C Le test de Neyman-Pearson revient donc à comparer T X à un seuil C On détermine C en se souvenant que le test doit satisfaire sous H P ? T X c ? est-à-dire P T X C avec T X ?? N ?T ou encore P T X ?T C ?T avec T X ?T ?? N Cette dernière condition est