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Cours logique farid Logiques Mathématiques Leila Jemni Ben Ayed Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de l ? Informatique Références - J P Delahaye Outils Logiques pour l ? Intelligence Arti ?cielle Eyrolles Paris - J Vélu Méthodes Mathém

Logiques Mathématiques Leila Jemni Ben Ayed Faculté des Sciences de Tunis Département des Sciences de l ? Informatique Références - J P Delahaye Outils Logiques pour l ? Intelligence Arti ?cielle Eyrolles Paris - J Vélu Méthodes Mathématiques pour l ? Informatique Dunod Paris Ce cours est une introduction aux logiques mathématiques et aux techniques de déduction automatique Il présente deux modèles de raisonnement fondés sur la logique des propositions et la logique des prédicats permettant d ? avoir une approche mathématique de la programmation Nous examinons la logique propositionnelle et la logique des prédicats du premier ordre Nous discutons les liens entre les aspects formels dans ces logiques et les énoncés exprimés informellement Di ?érentes méthodes de preuve formelle sont présentées et appliquées C Introduction Propositions logiques Opérateurs de base Implications et équivalences Quanti ?cateurs CIntroduction ? Dé ?nition Une proposition atomique ou variable est une a ?rmation simple soit vraie soit fausse ? Dé ?nition Une proposition est composée de propositions atomiques reliées entre-elles par des connecteurs logiques ?? ?? ?? On va revenir sur ce qu ? est les connecteurs logiques tout de suite Théorie des langages Leila Jemni Ben Ayed CQuelques exemples A Le nombre de lettres dans l'alphabet français est ? La proposition A est fausse B ? La proposition B est vraie C x ? C n'est pas une proposition logique complète car elle contient une variable libre x On ne sait pas ce qu'est x un point un nombre entier un vecteur une étoile de l'univers On ne peut donc pas attribuer de valeur de vérité à la proposition C C ?? Soit x un nombre réel alors x ? La proposition C ?? est fausse En e ?et C ?? est une proposition logique car on a dé ?ni la variable x comme étant un nombre réel Mais elle est fausse car par exemple est un nombre réel et Théorie des langages Leila Jemni Ben Ayed COpérateurs de base ? Les opérateurs permettent de construire de nouvelles propositions à partir d'une ou de plusieurs propositions initiales Théorie des langages Leila Jemni Ben Ayed COpérateurs de base La négation Soit A une proposition On dé ?nit une proposition non A ? que l'on note A avec une sorte de petit L allongé vers le bas Si A est vraie alors A est fausse Si A est fausse alors A est vraie Théorie des langages Leila Jemni Ben Ayed COpérateurs de base La négation Dé ?nition Une table de vérité est un tableau dé ?nissant la valeur d'une fonction logique pour chacune des combinaisons possibles des entrées Construction Dans la première colonne je place toutes les valeurs que peut prendre A c'est à dire Vrai ou Faux Dans la seconde colonne je place la valeur de vérité de A correspondante p ? p Par convention et pour faciliter la lecture de grandes tables on écrit pour la valeur FAUX et pour la valeur VRAI Théorie des langages Leila Jemni Ben Ayed COpérateurs de base