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Cours rudiments de logique et vocabulaire ensembliste 1

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI RUDIMENTS DE LOGIQUE ET VOCABULAIRE ENSEMBLISTE Nous étudierons ce chapitre en parallèle de l ? annexe Raisonner rédiger ? qui en dépit de ce statut est sans doute le texte mathématique le plus important de l ? année CONNECTEURS LOGIQUES ET QUANTIFICATEURS On appelle proposition toute phrase p au sujet de laquelle on peut poser la question p est-elle vraie ? La plupart des phrases grammaticalement correctes sont des propositions mais par exemple Dis-le-moi ? Bonjour ? ou Comment vas-tu ? n ? en sont pas la question Est-il vrai que bonjour ? n ? a aucun sens La valeur de vérité d ? une proposition est le vrai ou le faux ?? mais pas les deux Deux propositions de même valeur de vérité sont dites équivalentes Pour démontrer une proposition p vous n ? êtes pas obligés de démontrer p elle- même vous pouvez démontrer n ? importe quelle proposition équivalente Par exemple démontrer que Socrate n ? est pas immortel ? c ? est pareil que démontrer que Socrate est mortel ? À partir des propositions J ? ai faim ? et J ? ai soif ? on peut construire une nouvelle proposition J ? ai faim ET j ? ai soif ? Plus généralement nous appellerons connecteur logique tout procédé de construction d ? une proposition à partir d ? une ou de plusieurs autres propositions Exemples courants et ? ou ? si alors ? parce que ? Un connecteur logique est dit vérifonctionnel si la valeur de vérité d ? une proposition construite à l ? aide de ce connecteur dépend seulement de la valeur de vérité des propositions utilisées dans la construction Pour savoir par exemple si la proposition p et q est vraie on n ? a pas besoin de savoir exactement ce que cachent p et q ?? leur signi ?cation ?? on a juste besoin de conna? tre leurs valeurs de vérité respectives Si les deux sont vraies la proposition p et q est vraie et sinon elle est fausse En mathématiques les connecteurs logiques utilisés sont tous vérifonctionnels Pour votre culture remarquez bien que certains connecteurs logiques ne sont pas vérifonctionnels C ? est le cas du connecteur parce que ? Imaginez un contexte dans lequel il est vrai que Je me suis dépêché parce que j ? étais en retard ? Les deux propositions Je suis en retard ? et Je me suis dépêché ? sont vraies Pourtant si on remplace J ? étais en retard ? par La glace est un solide ? ?? proposition également vraie ?? la nouvelle proposition Je me suis dépêché parce que la glace est un solide ? est fausse Or si parce que ? était vérifonctionnel cette proposition serait aussi vraie que celle dont nous sommes partis En résumé la relation de causalité dont parce que ? porte le témoignage échappe complètement aux mathématiques NÉGATION CONJONCTION DISJONCTION Dé ?nition Négation conjonction disjonction ? Négation La proposition non