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Delahaye information compl 1999 ch 6

Information complexité et hasard Jean-Paul Delahaye Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille URA CNRS HERMES CChapitre L'importance des indécidables Résumé Les indécidables dont les théorèmes de G? del de démontrent l'existence et qu'ils exhibent ont-ils une signi ?cation réelle ou au contraire sont-ils des énoncés pathologiques sans intérêt autre que technique Cette question posée depuis longtemps et qui peut être entendue de plusieurs façons di ?érentes semble recevoir des réponses contradictoires chacune des deux thèses pouvant trouver dans les résultats de logique mathématique récents des arguments en sa faveur ceux en faveur de l'insigni ?ance sont assez élaborés mais d'autant plus intéressants Des indécidables de la théorie de la calculabilité qui semblent concerner toutes les parties des mathématiques et qu'on découvre par dizaines aux indécidables de Paris-Harrington et Friedman en passant par les indécidables de l'arithmétique pure et par les indécidables de la théorie des ensembles nous parcourons rapidement une classi ?cation des indécidables de G? del en nous posant à chaque fois la question de leur signi ?cation mathématique et physique Malgré de nombreux résultats nouveaux rien ne semble dé ?nitivement tranché On peut considérer évident qu'ils sont partout et qu'on en trouve facilement qui ont du sens De même on peut comme Feferman à côté des mathématiques abstraites essayer de délimiter le domaine des mathématiques ordinaires applicables qui pourrait être indi ?érent ?? d'une certaine façon ?? aux indécidables de G? del C INFORMATION COMPLEXITÉ ET HASARD Introduction des mathématiciens se moquent éperdument de ce que peuvent faire tous les logiciens et tous les philosophes Dieudonné Le sentiment général est que le théorème de G? del ne concerne que les logiciens Solovay cité par Kolata Kolata La proposition indécidable A décrite par G? del para? t très arti ?cielle sans lien avec aucune autre partie de la théorie des nombres actuelle sa principale utilité était d'établir l'impossibilité d'une preuve de la non-contradiction de l'arithmétique Parmi les nombreuses questions classiques non résolues de la théorie des nombres on n'a pas encore à ma connaissance établi que l'une d'elles est indécidable Dieudonné Ce que l'on souhaiterait c'est qu'un grand problème irrésolu des mathématiques comme le théorème de Fermat soit démontré indécidable Cela serait vraiment remarquable Jo? l Spencer cité par Kolata Kolata La croyance que la théorie de la démonstration de Hilbert fait partie intégrante de la mathématique ne nous para? t pas justi ?ée et nous considérons que l'intervention de la métamathématique dans l'exposé de la logique peut et doit être réduite à la partie élémentaire qui traite du maniement des symboles abréviateurs et des critères déductifs Bourbaki Importance philosophique et importance mathématique Les indécidables dont les théorèmes de G? del de démontrent l'existence et qu'ils exhibent ont-ils une signi ?cation réelle ou au contraire sont-ils des énoncés pathologiques sans intérêt autre que technique C'est cette question que nous voulons nous poser L'intérêt logique ou philosophique des indécidables est lié à leur intérêt mathématique et c'est donc à cet aspect particulier que nous allons principalement nous intéresser Il se trouve