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Introduction a la logique mathematique 1

Introduction à la logique mathématique Par Le Zéro www openclassrooms com Licence Creative Commons Dernière mise à jour le C Sommaire Sommaire Lire aussi Introduction à la logique mathématique Propositions logiques Dé ?nition Quelques exemples À retenir Opérateurs de base La négation La conjonction La disjonction Lois de Morgan Implications et équivalences Notion d'implication Equivalence Quanti ?cateurs Le quanti ?cateur universel Le quanti ?cateur existenciel Plusieurs quanti ?cateurs Raisonnons Exemple et contre exemple La contraposée Le raisonnement par l'absurde Le raisonnement par récurrence Q C M Partager www openclassrooms com CSommaire Introduction à la logique mathématique Par Le Zéro Mise à jour Di ?culté Facile Durée d'étude heures À la limite de la philosophie la logique est une branche fondamentale des mathématiques qui permet d'établir la valeur de vérité de propositions et de construire des raisonnements mathématiques Ce tutoriel constitue une initiation à cette branche primordiale des mathématiques Nous dé ?nirons les notions de proposition et d'opérateur construirons des tables de vérité expliquerons les notions d'implication d'implication réciproque et d'équivalence avant d'aborder les di ?érents types de raisonnements que l'on peut suivre en mathématiques Le tout sera saupoudré de nombreux exercices accessibles à partir de zéro ou presque C'est parti Sommaire du tutoriel Propositions logiques Opérateurs de base Implications et équivalences Quanti ?cateurs Raisonnons Q C M Propositions logiques Dé ?nition Une proposition logique ou assertion est une a ?rmation formée d'un assemblage de symboles et de mots portant sur des objets mathématiques à laquelle on peut clairement attribuer la valeur vraie ou la valeur faux On note une proposition Par dé ?nition A satisfait les principes ou axiomes suivants Principe d'identité est Autrement dit si est vrai alors est vrai et si est faux alors est faux Principe de non contradiction ne peut pas à la fois être vrai et faux Principe du tiers exclus Soit est vrai soit est faux Il n'existe pas d'autre valeur de vérité en logique mathématique Ces trois principes constituent le fondement de tout raisonnement mathématique Le dernier point mérite que l'on s'y attarde un instant Soit la proposition Le carré d'un nombre réel est strictement positif ? Alors Vrai ou faux L'intuition première serait de répondre ça dépend du nombre c'est le cas pour la plupart des nombres mais c'est faux pour zéro car Le problème est que cette réponse est en contradiction avec le principe du tiers exclus Il faut donc attribuer clairement à cette proposition la valeur vrai ou la valeur faux www openclassrooms com CIntroduction à la logique mathématique Étant donné qu'il existe au moins un nombre ici zéro pour lequel cette proposition est fausse on dira que la proposition est faus s e Quelques exemples Le nombre de lettres dans l'alphabet français est ? La proposition est fausse ? La proposition est vraie ? n'est pas une proposition logique complète car elle contient une variable libre On ne sait pas ce qu'est un point un nombre entier un vecteur une étoile de l'univers On ne peut donc pas attribuer