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Logique ensembles applications

Logique ensembles et applications I Outils du raisonnement mathématique I A Assertions et connecteurs logiques I A Assertions I A Connecteurs logiques I A Propriétés des connecteurs logiques I B Quanti ?cateurs I C Modes de raisonnement I C Syllogisme I C Disjonction des cas I C Démonstration par contraposée I C Démonstration par contre-exemple I C Démonstration par l ? absurde I C Démonstration par récurrence I C Exemples II Ensembles II A La notion d ? ensemble II B Parties d ? un ensemble II C Opérations sur les parties d ? un ensemble II D Ensembles produits II E Structure algébrique des ensembles III Applications III A Généralités III B Injections surjections bijections III B Notion intuitive d ? ensembles en bijection III B Applications injectives et surjectives III C Compléments sur les applications III C Composée de deux applications et application réciproque III C Prolongement et restriction d ? une application I Outils du raisonnement mathématique I A Assertions et connecteurs logiques I A Assertions Dé ?nition Une assertion est un énoncé mathématique ou propriété à laquelle on attribue l ? une des deux valeurs logiques le vrai V ou le faux F valeurs booléennes Exemples ?? est une assertion vraie ?? est une assertion fausse ?? ? est un nombre entier est une assertion fausse CRemarque Pour certaines assertions on peut décider du caractère vrai ou faux par exemple on peut décider que l ? assertion x est vraie mais cela provoque parfois des contradictions Par exemple l ? assertion toute règle admet une exception ne peut pas être vraie Les deux possibilités sont consignées dans une table de vérité P V F I A Connecteurs logiques Il existe cinq connecteurs logiques à la base de tout raisonnement mathématique dont nous allons faire la liste ? Négation non À toute assertion P on peut associer une autre assertion appelée négation de P et notée non P qui prend les valeurs ?? Vrai si P est faux ?? Faux si P est vrai P non P VF FV Par exemple si P est l ? entier n est pair non P devient l ? entier n est impair ? Disjonction ou L ? assertion P ou Q est vraie si l ? une au moins des deux assertions P et Q est vraie ? Conjonction et L ? assertion P et Q est vraie si les deux assertions P et Q sont vraies ? Implication ?? L ? assertion P ?? Q est vraie si l ? assertion non P ou Q est vraie ? Équivalence ?? L ? assertion P ?? Q est vraie si l ? assertion P ?? Q et Q ?? P est vraie Remarques Le ou mathématique n ? est pas exclusif si les assertions P et Q sont toutes les deux vraies alors l ? assertion P ou Q est vraie P ?? Q signi ?e non P est vraie ou P est vraie et dans ce cas Q est