Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

M1 optim exam2 2020 2 mercredi juin Examen no - Optimisation Master - Math Fondamentales CSMI - Durée heures Consignes les documents et calculatrices sont autorisés ll est important d ? apporter une grande attention au soin et à la présentation justi ?cat

mercredi juin Examen no - Optimisation Master - Math Fondamentales CSMI - Durée heures Consignes les documents et calculatrices sont autorisés ll est important d ? apporter une grande attention au soin et à la présentation justi ?cation et rédaction des réponses Il faut donc utiliser des phrases de liaison des af ?rmations et des conclusions EXERCICE No multiplicateurs de Lagrange - points On se place dans R muni d ? une base orthonormée Soit la droite D d ? équation D x y ?? R ax by c avec a b On demande de déterminer la distance du point de coordonnées x y ?? R à D en utilisant le théorème des extrema liés On étudiera au préalable l ? existence de solutions pour ce problème et on prendra soin de justi ?er chaque étape du raisonnement EXERCICE No théorème de Kuhn-Tucker algorithme d ? Uzawa - points On considère le sous-ensemble de R dé ?ni par C x y ?? R x y et x ?? y ? Soit f R ? R une fonction continue ? ?? R Si l ? on souhaite résoudre numériquement le problème inf f x ?? y ?? ? x y ??C à l ? aide d ? une méthode de type Uzawa à quel type de dif ?culté est-on confronté Proposer un algorithme permettant de palier ce problème Indication on pourra admettre qu ? il existe des algorithmes permettant de minimiser une fonction de Rn dans R sans contrainte donc sans avoir à calculer de dérivée Ces méthodes reposent juste sur l ? évaluation de la fonction On peut citer par exemple la méthode du recuit simulé ou encore la méthode du simplexe de Nelder-Mead On considère la fonction f R ? R dé ?nie par f x y x ?? y ?? Dessiner C puis résoudre le problème inf f x y x y ??C Indication simpli ?er l ? écriture de f x y On se posera notamment les questions de l ? existence de solutions quali ?cation des contraintes etc CEXERCICE No la méthode LASSO - points Dans tout l ? énoncé Rn désignera le produit scalaire euclidien de Rn et k la norme dé ?nie par d x k k ? xj k j On propose dans cet exercice d ? étudier une méthode de régression linéaire pénalisée à l ? aide d ? une contrainte de parcimonie la méthode LASSO Soient ? n d ?? N ? M ?? Mn d R et y ?? Rn On considère le problème ? ? inf J w w ??Rd? R ? d o? J w n y ?? Mw ? d j w j j ? d j j Montrer que J est de classe C ? sur Rd ? R ? d puis calculer ??J w Soit x ?? R Démontrer l ? identité x inf x et en déduire que inf w ??Rd ? R ? d J w inf w ??Rd n y ?? Mw