COURS SYSTEMES ASSERVIS ECHANTILLONNES (SAE) Dr BOKOVI YAO Ingénieur de Concept

COURS SYSTEMES ASSERVIS ECHANTILLONNES (SAE) Dr BOKOVI YAO Ingénieur de Conception Génie Electrique Maître-assistant Enseignant-Chercheur à l’ENSI Université de Lomé (UL) E-mail : bokoviyao@gmail.com WhatsApp : +228 90 09 44 01 Systèmes Echantillonnés Asservis Dr BOKOVI Yao SOMMAIRE Chapitre 1 : Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés. Chapitre 2 : Stabilité et performance des systèmes échantillonnés asservis. Chapitre 3 : Correction des systèmes échantillonnés et asservis. Chapitre 11 Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés 11.1 INTRODUCTION Jusqu’à présent, nous n’avons étudié que des systèmes continus (linéaires ou non linéaires), dont la princi- pale fonction consistait à traiter continûment, en temps réel, des signaux eux-mêmes continus, c’est-à-dire des signaux représentés par des fonctions continues du temps. On parle alors de signaux et de systèmes à temps continu. Dans la réalité industrielle, la complexité des systèmes, ainsi que celle des traitements à réaliser, néces- site souvent le recours à des outils numériques de traitement : ordinateurs, calculateurs, systèmes numé- riques en tout genre. De tels outils ne peuvent en aucun cas s’accommoder de signaux continus ; ceux-ci doivent être trans- formés en suites de nombres pour pouvoir être traités (figure 11.1). De même, ces systèmes délivrent, à leur sortie, des suites de valeurs numériques, autrement dit, des signaux numériques. Remarque : On parle aussi de systèmes et de signaux à temps discret par opposition à la notion de temps continu. Figure 11.1 Traitement numérique d’un signal. Pour transformer un signal continu en une suite de nombres compatible avec un système de traitement numérique, on a recours à deux opérations successives : l’échantillonnage qui consiste à prélever, à inter- valles de temps réguliers, des valeurs discrètes du signal, puis, la conversion analogique numérique qui transforme ces échantillons en nombres, généralement codés sous forme binaire (figure 11.2). L’échantillonnage réalise donc une discrétisation dans le temps, tandis que la conversion analogique numérique réalise une discrétisation en amplitude. En effet, si on considère qu’un convertisseur analogique numérique dispose de n bits en sortie pour coder la valeur numérique du signal, celui-ci ne pourra prendre que 2n valeurs. Cette double discrétisation est bien évidemment susceptible d’engendrer des erreurs étant donné que l’on ne connaîtra le signal qu’à des instants donnés et que, de surcroît, les valeurs numériques correspondantes seront arrondies en fonction du nombre de valeurs disponibles en sortie. 206 11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés Figure 11.2 Échantillonnage et conversion analogique numérique d’un signal. Par convention, on notera e∗(t) le signal échantillonné avant sa conversion analogique numérique. Remarque : On a souvent tendance, par abus de langage, à appeler échantillonnage l’ensemble de la chaîne de transformation du signal, conversion comprise. Cet abus de langage est sans conséquence, étant donné que les modèles que nous allons étudier concernent la description globale de la transfor- mation du signal continu jusqu’à la suite de nombres correspondante. 11.2 PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L’ÉCHANTILLONNAGE DES SIGNAUX 11.2.1 Définition L’échantillonnage d’un signal temporel s(t) consiste à transformer celui-ci en une suite discrète s(nTe) de valeurs prises à des instants nTe. Te est appelée période d’échantillonnage. Les instants nTe sont appelés les instants d’échantillonnages. Pratiquement, échantillonner un signal revient à le multiplier par une fonction d’échantillonnage p(t), nulle partout, sauf au voisinage des instants nTe. Cette fonction, qui porte souvent le nom de peigne, est représentée sur la figure 11.3. Le résultat d’une opération d’échantillonnage, visible sur la figure 11.4, est : s∗(t) = p(t)s(t) Figure 11.3 Fonction d’échantillonnage. Figure 11.4 Échantillonnage d’un signal quelconque. L’échantillonnage produit donc, à partir d’un signal s(t), la suite : s(0), s(Te), s(2Te), . . . , s(nTe) que l’on note, en général : s∗(t) = {s0, s1, s2, . . . , sn} ou encore : s(k) = {s0, s1, s2, . . . , sn} 11.2 Principes fondamentaux de l’échantillonnage des signaux 207 Remarque : En toute logique, cette suite ne correspond pas encore à des valeurs numériques. Ce signal échantillonné est un signal analogique à temps discret. Toutefois, on notera de la même manière la suite numérique obtenue après conversion analogique numérique. 11.2.2 Spectre d’un signal échantillonné Supposons qu’un signal s(t) à échantillonner soit à énergie finie et possède, par conséquent, une transformée de Fourier : S( f) =  +∞ 0 s(t) e−jvt dt avec v = 2p f Calculons alors la transformée de Fourier S∗( f) du signal échantillonné s∗(t). Le signal p(t) étant périodique, il possède une décomposition en série de Fourier que nous pouvons écrire, sans la calculer : p(t) = +∞  n=−∞ An e jnVet avec Ve = 2p/Te On a alors : s∗(t) = s(t)p(t) = s(t) +∞  n=−∞ An e jnVet d’où : S∗( f) =  +∞ −∞  s(t) +∞  n=−∞ An e jnVet  e−jvt dt S∗( f) = +∞  n=−∞  An  +∞ −∞ s(t) e jnVet e−jvt dt  S∗( f) = +∞  n=−∞  An  +∞ −∞ s(t) e−j(v−nVe)t dt  soit : S∗( f) = +∞  n=−∞ [AnS (f −nfe)] avec fe = Ve/2p = 1/Te La transformée de Fourier du signal échantillonné apparaît donc comme une superposition des transformées de Fourier de s(t) aux points f −n fe, fe étant la fréquence d’échantillonnage choisie. Pour n = 0, on retrouve le spectre |S( f)| du signal initial. Pour n non nul, on retrouve ce même spectre, mais décalé, par rapport à |S( f)| de n fe avec n ∈Z. On dit aussi que S( f) est périodique de fréquence fe. La figure 11.5 présente les spectres comparés de s(t) et de s∗(t). Figure 11.5 Spectre d’un signal échantillonné. 208 11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés 11.2.3 Théorème de Shannon À partir du spectre du signal échantillonné représenté sur la figure 11.5, il est possible de mettre en évidence l’un des résultats les plus fondamentaux de l’étude des signaux échantillonnés. Un des objectifs essentiels de l’échantillonnage consiste à ne pas perdre d’information lors de la discrétisation dans le temps, ce qui peut se traduire par le fait qu’il doit être possible, à partir du spectre du signal échantillonné, de reconstituer simplement celui du signal original. Un simple coup d’œil au spectre |S∗( f)| nous montre que cela est possible s’il n’existe aucun recouvrement entre les différents segments de spectre. Figure 11.6 Spectre d’un signal échantillonné. Si B est la largeur spectrale du signal s(t), autrement dit sa limite fréquentielle supérieure, le premier segment décalé, dans le spectre de s∗(t), qui se trouve centré sur la fréquence fe, s’étend de fe −B à fe + B. La condition de non recouvrement est donc, de toute évidence : B < fe −B soit : fe > 2B Cette inégalité constitue le théorème de Shannon qui peut également s’énoncer de la manière suivante : Pour préserver, lors de son échantillonnage, l’information contenue dans un signal, la fréquence d’échantillonnage fe doit être supérieure au double de la largeur spectrale du signal. 11.3 EXEMPLES DE SIGNAUX ÉCHANTILLONNÉS SIMPLES 11.3.1 Impulsion unité On définit l’impulsion unité échantillonnée par le signal : d∗(t) = {1, 0, 0, . . . , 0} autrement dit : ⎧ ⎨ ⎩ d∗(nTe) = 1 pour n = 0 d∗(nTe) = 0 pour n ̸= 0 Remarque : Nous considérerons comme nuls pour t négatif, tous les signaux que nous étudierons. La figure 11.7 propose une représentation schématique de cette impulsion unité. 11.3 Exemples de signaux échantillonnés simples 209 Figure 11.7 Impulsion unité. 11.3.2 Échelon unité On définit l’échelon unité échantillonné par le signal : u∗(t) = {1, 1, 1, . . . ,1} autrement dit : ⎧ ⎨ ⎩ u(k) = 1 ∀k ⩾0 u(k) = 0 ∀k < 0 La figure 11.8 propose une représentation schématique de cet échelon unité. Figure 11.8 Échelon unité. Cet échelon unité n’est rien d’autre que la somme d’impulsions unités décalées dans le temps : u∗(t) = d∗(t) + d∗(t −Te) + d∗(t −2Te) + · · · soit : u∗(t) = n  k=0 d∗(t −kTe) On pose parfois : d∗(t −kTe) = dk ce qui nous conduit à la notation : u∗(t) = n  k=0 dk 210 11 • Modélisation des signaux et des systèmes échantillonnés 11.4 TRANSFORMÉE EN Z DES SIGNAUX ÉCHANTILLONNÉS 11.4.1 Définition Soit s(t) un signal continu quelconque que l’on échantillonne à une fréquence fe (soit une période Te), en respectant, bien évidemment, le théorème de Shannon. On a : s∗(t) = {s0, s1, s2, . . . , sn} avec : si = s (iTe) ou encore : s(k) = {s0, s1, s2, . . . , sn} Cette suite n’est rien d’autre que la somme d’impulsions unités décalées dans le temps et multipliées, chacune, par le coefficient sk : s∗(t) = s0d∗(t) + s1d∗(t −Te) + s2d∗(t −2Te) + ... soit : s∗(t) = n  k=0 skd∗(t −kTe) d’où : s∗(t) = n  k=0 skdk Toute la modélisation des signaux que nous avons utilisée, dès les premières pages de cet ouvrage, faisait appel à la transformation de Laplace. Nous uploads/Philosophie/ sae-cours-bokovi-pdf.pdf

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