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Ondelettes lecture notes wave

Module Ondelettes du DEA TIS ?? S Lasaulce CHAP De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes Introduction Les premières idées de Fourier sur l'analyse qui porte son nom remontent à date de publication de son mémoire sur les décompositions en série et ont été abouties dans son livre Théorie analytique de la chaleur Dans ce livre Joseph Fourier montre en particulier comment son formalisme permet de résoudre le problème du calcul de l'évolution temporelle de la température en tout point d'une barre conductrice de chaleur chau ?ée au préalable en un bout et laissée ensuite en évolution libre Depuis l'analyse de Fourier a été appliquée à bien d'autres problèmes physiques Une des causes du succès de ce formalisme est qu'il constitue un outil mathématique qui décrit de manière assez naturelle de nombreuses situations physiques Le rayonnement thermique les transmissions radio les rayons de couleurs du spectre visible les rayons X pour ne citer que ces exemples ne sont ?nalement que des ondes qui ne di ?èrent que par leur ? fréquence Mais l'utilisation intensive de la transformée de Fourier TF est aussi et surtout en partie due à la possibilité d'implanter e ?cacement cette transformation ainsi que son inverse dans un système physique C'est en fait l'algorithme de transformée de Fourier rapide FFT en anglais mis au point par Cooley et Tukey en qui a permis d'exploiter la TF et d'en faire un outil mathématique de choix On trouve ainsi des modules FFT dans des domaines aussi variés que la mesure exemple oscilloscopes numériques les transmissions exemples radio numérique DAB télévision numérique DVB réseaux locaux sans ?ls de type a l'informatique exemple PC etc Cependant même si personne ne remettra en cause l'utilité de la transformée de Fourier ainsi que son e ?cacité d'implantation on rencontre dans la réalité de nombreux signaux que la TF décrit assez mal Il s'agit en particulier des signaux dits non stationnaires Il a donc fallu développer de nouveaux outils mathématiques qui permettent de traiter de tels signaux et d'en extraire facilement l'information utile C'est là que la transformation en ondelettes entre en scène Avant de dé ?nir la transformation en ondelettes nous allons suivre une démarche naturelle qui va nous permettre de mieux comprendre comment cet outil a été élaboré Pour cela nous analyserons dans le paragraphe suivant les défauts de la transformation de Fourier Les limites de la transformation de Fourier Pour illustrer les limitations de la transformée de Fourier nous allons raisonner à partir d'un cas très simple que nous interpréterons mathématiquement Considérons la ?gure La ?gure représente l'amplitude de la transformée de Fourier monolatérale en fonction de la fréquence normalisée normalisation par la fréquence minimale fmin f La question que nous nous posons est à quelle fonction du temps ou signal correspond cette transformée de Fourier Le raisonnement sur l'amplitude pourrait se faire sur la phase de la transformée de Fourier mais celle-ci est plus di ?cile à interpréter CModule Ondelettes du DEA TIS ?? S Lasaulce Puisqu'il