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Séminaire de philosophie et mathématiques HOURYA SINACEUR Calcul ordre continuité Séminaire de Philosophie et Mathématiques fascicule Calcul ordre continuité ? p - http www numdam org item id SPHM A ? École normale supérieure ?? IREM Paris Nord ?? École centrale des arts et manufactures tous droits réservés L ? accès aux archives de la série Séminaire de philosophie et mathématiques ? implique l ? accord avec les conditions générales d ? utilisation http www numdam org legal php Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d ? une infraction pénale Toute copie ou impression de ce ?chier doit contenir la présente mention de copyright Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http www numdam org C Hourya SINACEUR Institut d'Histoire et Philosophie des Sciences et des Techniques rue du Four Paris CALCUL ORDRE CONTINUITÉ Nous devons une claire distinction des trois concepts qui forment le titre de cet exposé à une théorie mathématique relativement récente l'algèbre réelle d'Artin et Schreier Par 'algèbre réelle' il faut entendre une théorie algébrique des nombres réels c'est-à-dire une théorie algébrique de ce qui des Grecs à Cantor et au-delà nous sert à numériser le continu linéaire Sans entrer ici dans les détails techniques ni m'arrêter au rapport structurel entre algèbre réelle et analyse non standard d'Abraham Robinson je voudrais faire quelques remarques réunissant les éléments essentiels de ce premier acte que l'algèbre réelle constitue pour de nombreux développements actuels impliquant un traitement algébrique du continu aussi bien en algèbre qu'en géométrie algébrique et qu'en théorie des modèles Je commencerai par rappeler comment l'algèbre réelle atteint la cible d'un objectif ancien mais tenu pour quasi irréalisable Je préciserai ensuite au con uent de quelles lignes généalogiques immédiates elle a forgé son approche du continu Je soulignerai en ?n qu'elle apporte en complément à la théorie de Steinitz fondement algébrique de la théorie des équations le fondement algébrique de la théorie des inégalités I AXIOMATISATION ALGÉBRIQUE DES NOMBRES RÉELS Le pouvoir des méthodes abstraites L'algèbre réelle est un produit de la grande réforme conceptuelle des mathématiques modernes ? qui a priviligié dans les années les deux points de vue distincts mais fortement corrélés de l'algèbre et de la topologie abstraites Elle est l' ?uvre entre et d'un algébriste connu Emil Artin animateur fameux du séminaire mathématique de l'université de Hambourg et d'Otto Schreier l'un des fondateurs de l'algèbre topologique et auteur du concept de groupe abstrait continu' Tous deux étaient dans la mouvance de l'école de Hilbert champion des Cette conférence reproduit à quelques variantes près l'intervention au Colloque de Cerisy-la Salle de Septembre publiée depuis dans les Actes du colloque Le labyrinthe du continu Springer-Verlag France On trouvera une étude détaillée dans Sinaceur e partie en particulier Cela a été fait dans Sinaceur Le lecteur francophone trouvera bientôt une traduction française de tous les mémoires d'Artin et d'Artin et Schreier relatifs à l'algèbre réelle dans Roy M -F Sinaceur H C méthodes abstraites et des théorèmes de f?