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Eléments d’histoire de l’arithmétique mardi 20 septembre 2011 Eléments d’histoi

Eléments d’histoire de l’arithmétique mardi 20 septembre 2011 Eléments d’histoire de l’arithmétique Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1508) mardi 20 septembre 2011 Arithmétique S. f. (Ordre encycl. Entend. Raison, Philos. ou Science, Science de la Nat. ou des êtres, de leurs qualités abstraites, de la quantité, ou Mathémat. Matth. pures, Arithmétique.) Ce mot vient du grec, nombre. C'est l'art de démontrer, ou cette partie des Mathématiques qui considere les propriétés des nombres. On y apprend à calculer exactement, facilement, promptement. V oyez NOMBRE. Jean Le Rond d’Alembert, Art. Arithmétique de l’Encyclopédie (2e moitié XVIIIe siècle). mardi 20 septembre 2011 Nous appelons Arithmétique l’étude élémentaire des propriétés des nombres entiers et des nombres rationnels, établies avant le XVIIIe siècle, et Théorie des nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce XVIIIe siècle. Mais il n’y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines. Jean Itard, Arithmétique et Théorie des nombres, Que sais-je ? 1963 L ' Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers : cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n'a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans les livres de Diophante dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler. Pierre Fermat, 1657 mardi 20 septembre 2011 Nous appelons Arithmétique l’étude élémentaire des propriétés des nombres entiers et des nombres rationnels, établies avant le XVIIIe siècle, et Théorie des nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce XVIIIe siècle. Mais il n’y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines. Jean Itard, Arithmétique et Théorie des nombres, Que sais-je ? 1963 L ' Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers : cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n'a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans les livres de Diophante dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler. Pierre Fermat, 1657 mardi 20 septembre 2011 Mathematical Subject Classiﬁcation 2010 • « arithmetic » n’est pas une division principale • apparaît dans des titres de sous-division (« models of arithmetic » (03C62, dans Mathematical Logic), «arithmetic functions» (11K65), dans Number Theory, ...) mardi 20 septembre 2011 Un exemple de classiﬁcation des mathématiques Les Pythagoriens ont jugé bon de diviser la science mathématique entière en quatre parties. Ils ont rattaché l’une à la quotité [«combien nombreux»], l’autre à la quantité [« combien grand »] et ont établi chacune de ces parties en double […] Ils ont ainsi convenu que l’arithmétique considère la quotité en elle-même ; que la musique la considère par rapport à une autre ; que la géométrie considère la quantité comme étant immuable et que la sphérique la considère comme se mouvant sur elle-même. […] Mais certains, tels que Géminus, prétendent, au contraire, diviser la science mathématique d’une autre manière. […] Ils déclarent que l’arithmétique et la géométrie sont les deux premières et plus importantes parties de la mathématique qui traitent des choses intelligibles, et que les six parties de la mathématique ayant leur fonction dans les choses sensibles sont la mécanique, l’astrologie, l’optique, la géodésie, la canonique et la logistique. Par contre ils pensent que la tactique ne doit pas être comptée, […] ils pensent encore davantage que ni l’histoire, ni la médecine ne sont des branches de la mathématique […] Proclus, Commentaires sur le Premier Livre des Eléments d’Euclide, Prologue (trad. P. ver Eecke), Ve s. mardi 20 septembre 2011 Enumération des sciences, d’après al-Fârâbi (IXe s.) • La science du langage • La science de la logique • La science des préliminaires • La science de la nature • La science du divin • La science de la société mardi 20 septembre 2011 La science des préliminaires • Arithmétique (pratique, théorique) • Géométrie (pratique, théorique) • Optique • Astronomie, astrology • Musique (pratique, théorique) • Science des poids • Science des machines, mécanique mardi 20 septembre 2011 Relations entre classiﬁcations et développement des mathématiques • compliquées ! • parfois classiﬁcations suivent le changement (ou certains changements) • parfois informent, voire contraignent en partie le développement • nombres : interactions entre arithmétique, géométrie et analyse (=>nombres réels), arithmétique et algèbre, analyse, géométrie => complexes), etc. mardi 20 septembre 2011 Catalogue of Scientiﬁc Papers 1800-1900 mardi 20 septembre 2011 Arithmétique dans les Eléments d’Euclide ? • Euclide (-3e s., Alexandrie) • Eléments : 13 livres • Manuscrits complets du 9e s., fragments antérieurs • Livres 1 à 6= géométrie plane (et rapports entre grandeurs), Livres 7 à 9 = «arithmétique», Livre X = incommensurables, Livres XI-XIII = géométrie solide mardi 20 septembre 2011 Arithmétique dans les Eléments d’Euclide ? Début du livre VII (trad. Peyrard) mardi 20 septembre 2011 Euclide : ΣΤΟΙΧΕΙΑ (Éléments) – Livre VII, Prop. 1 Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le reste ne mesure jamais le reste précédent jusqu’à ce qu’il reste une unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux. T exte établi par Heiberg, trad. Vitrac mardi 20 septembre 2011 Trad. Peyrard mardi 20 septembre 2011 Nombre: se dit vulgairement dans l’arithmétique d’une collection ou assemblage d’unités ou de choses de même espèce. M. Newton déﬁnit plus précisément le nombre, non pas une multiplicité d’unités comme Euclide mais le rapport abstrait d’une quantité à une autre de même espèce, que l’on prend comme unité ; d'après cette idée, il divise les nombres en trois especes, savoir, nombres entiers, c'est-à-dire, qui contiennent l'unité ou certain nombre de fois exactement & sans reste, comme 2, 3, 4, &c. , nombres rompus ou fractions (voyez FRACTION), & nombres sourds ou incommensurables, voyez INCOMMENSURABLE. Les nombres commensurables sont ceux qui ont quelque autre nombre qui les mesure, ou qui les divise sans aucun reste. Les nombres commensurables sont proprement les seuls et vrais nombres. En eﬀet, tout nombre renferme l’idée d’un rapport... et tout rapport réel entre deux quantités suppose une partie aliquote qui leur soit commune... √2 n’est pas un nombre proprement dit, c’est une quantité qui n’existe point et qu’il est impossible de trouver. Les fractions même ne sont des nombres commensurables que parce que ces fractions représentent proprement des entiers [en prenant les parts pour véritable unité]. Art. Nombre, Encyclopédie de (Diderot et) d’Alembert, 2e moitié XVIIIe s. mardi 20 septembre 2011 Thèmes arithmétiques • Apparition des nombres entiers abstraits, systèmes métrologiques • Noms des nombres • Systèmes numériques • Opérations sur les entiers (lesquelles ? comment ?) • 0, 1 ? Déﬁnitions de N • Autres types de nombres (négatifs, fractions, décimaux, complexes, ...) • Opérations ? Analogies ? • Classements des entiers (nombres ﬁgurés, carrés, premiers, ...), propriétés • Problèmes dont les solutions sont des nombres mardi 20 septembre 2011 EGYPTE -3300 à -300 Etiquettes, seulement quelques Papyri conservés (Moscou, Rhind, ...) Tables, problèmes syst. num. : base 10 Réf. : J. Ritter, Chacun sa vérité, in M. Serres, Eléments d’histoire des sciences, Bordas, 1989, p. 39-61 mardi 20 septembre 2011 PAPYRUS RHIND Copie vers -1600 par un scribe («Ahmès») d’un texte du Moyen Empire (c. -1800) Tables (2 x inverses, ...) et problèmes mardi 20 septembre 2011 Original Titre du pRhind mardi 20 septembre 2011 Traduction 1L’excellente méthode aﬁn d’entrer ! de savoir toute chose qui existe, [toute] obscurité, […] tout secret. Or 2on a recopié ce rouleau en l’an 33, mois 4 d’et[é, sous la Majesté du roi de Haute et] de Basse Égypte Apophis Ier, doué de vie, conformément à l’écrit 3des temps anciens, fait au temps du r[oi de Haute et de Basse Égypte Amen-]m[-hat]. C’est le scribe Yah-mes qui a recopié ce livre. dans les choses, m xt tp-Hzb n hAt tp-Hzb n hAt tp-Hzb n hAt ! rx ntt nbt znkt […] SAt nbt jw jzt grt SAt nbt jw jzt grt SAt nbt zpXr•n•tw Sfdw pn m HAt-zp 33 Abd 4 Ax[t Xr Hmn nzw-]bjt æA-Wzr-Ra dj anx m znrt r Sz n jzwt jry m haw n[zw-bjt Nj-MA]at-[Ra] jn Sz JAH-mz zpXr znn pn Titre du pRhind mardi 20 septembre 2011 mardi 20 septembre 2011 pRhind 26 mardi 20 septembre 2011 Une quantité; son 4 lui a été ajouté. Elle est devenue 15. Calcule à partir de 4. Tu feras leur 4 : 1. Total: 5. Calcule à partir de 5 pour trouver 15. \1 \2 5 10 3 en résultera Calcule à partir de 3, 4 fois. 1 2 \4 3 6 12 12 en résultera La quantité Son 4 Total 12 3 15 1 4 12 3 pRhind 26 mardi 20 septembre 2011 pRhind 27 mardi 20 septembre 2011 pRhind 27 Une quantité. Son 5 lui a été ajouté. Elle est devenue 21. [Calcule à partir de 5. Tu feras leur 5 : 1. Total 6.] [Calcule à partir de 6 pour trouver 21.] uploads/Philosophie/ histoire-de-math.pdf