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Suppcours chp1 logique Support de Cours Algèbre ENSA-TETOUAN AP Loubna ZLAIJI CTable des matières Logique Mathématique Assertion et Proposition Les connecteurs logiques Négation conjonction disjonction Implication équivalence Les quanti ?cateurs mathémati

Support de Cours Algèbre ENSA-TETOUAN AP Loubna ZLAIJI CTable des matières Logique Mathématique Assertion et Proposition Les connecteurs logiques Négation conjonction disjonction Implication équivalence Les quanti ?cateurs mathématiques Les quanti ?cateurs simples Les quanti ?cateurs multiples Méthodes de raisonnement mathématique Raisonnement par hypothèse auxiliaire Raisonnement par contraposée Raisonnement par l ? absurde Raisonnement par contre-exemple Raisonnement par récurrence ii CChapitre Logique Mathématique Assertion et Proposition Dé ?nition ?? On appelle assertion un énoncé qui peut être vrai noté V ou faux noté F on appelle ces derniers valeurs de vérité de l ? assertion On utilise généralement des lettres majuscules pour noter une assertion par exemple P Q R On peut décrire une assertion à l ? aide d ? une table de vérité P V F Exemples L ? assertion est un multiple de est vraie L ? assertion est fausse n ? est pas une assertion Considérons maintenant l ? énoncé n est un multiple de o? n ?? N On ne peut pas dire si cette énoncé est vrai ou faux puisque sa valeur de vérité dépend de n Par conséquent l ? énoncé n est un multiple de n ? est pas une L ? assertion On dit que c ? est une proposition CIntroduction Dé ?nition ?? On appelle proposition un énoncé qui dépend d ? une ou de plusieurs variables vrai pour certaines valeurs de ces variables et faux pour les autres Exemples l ? énoncé P n n est un nombre pair est une proposition à une variable vraie pour les nombres pairs et fausse pour les nombres impairs Mais ?? P est un nombre pair est une proposition vraie ?? P est un nombre pair est une proposition fausse l ? énoncé P x A x ?? A est une proposition à deux variables Mais ?? P Q ?? Q est une assertion vraie ?? P i- R i ?? ?? R est une assertion fausse Remarque ?? On peut considérer une assertion comme une proposition sans variable Ce qui permet de n ? utiliser par la suite que les propositions Les connecteurs logiques Les connecteurs logiques permettent de créer de nouvelles propostions à partir d ? autres déjà existantes Les connecteurs logiques usuels sont et ou non ?? et ? ?? Négation conjonction disjonction Dé ?nition ?? La négation d ? une proposition P notée non P ou P est vraie lorsque P est fausse fausse lorsque P est vraie CIntroduction P non P VF FV Exemples ? Non x ?? A ? ?? x ?? A ? Non x ? ? ?? x Dé ?nition ?? Soient P et Q deux propositions ? La proposition P et Q appelée conjonction de P et Q n ? est vraie que lorsque P et Q sont toutes les deux vraies On la note aussi P ??Q ? La proposition P ou Q appelée disjonction de P et de Q est vraie lorsque l ? un au moins des deux propositions P et