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Topologie ulg Topologie générale Notes provisoires Pierre Mathonet Faculté des Sciences Département de Mathématique Année académique - CIntroduction Ce cours est une introduction à la topologie générale Cette branche des mathématiques a pour objet princip

Topologie générale Notes provisoires Pierre Mathonet Faculté des Sciences Département de Mathématique Année académique - CIntroduction Ce cours est une introduction à la topologie générale Cette branche des mathématiques a pour objet principal l ? étude abstraite de notions telles que la continuité la convergence la compacité la connexité etc et généralise les notions qui sont utilisées en analyse dans le cas particulier la topologie euclidienne Dans le premier chapitre on dé ?nit la notion de topologie sur un ensemble quelconque X Il s ? agit de se donner une collection de sous-ensembles de X que l ? on appellera ouverts et qui doivent avoir les propriétés bien connues des ouverts euclidiens en termes d ? unions et d ? intersections Le fait étonnant est que ces simples propriétés des ouverts permettent de reconstruire une bonne partie des notions vues en analyse à l ? aide de la distance euclidienne dans Rn intérieur adhérence frontière continuité connexité compacité tout en gardant de bonnes propriétés Dans ce même chapitre on passera également en revue di ?érentes méthodes pour dé ?nir une topologie sur un ensemble par les fermés par les systèmes de voisinages par une base par une sous-base on dé ?nira les notions élémentaires d ? intérieur d ? adhérence et de frontière ou d ? applications continues On introduira di ?érentes constructions d ? espaces topologiques les sousespaces les produits et les quotients En ?n on appliquera les di ?érents résultats dans une étude sommaire des groupes topologiques et de leurs actions Dans le deuxième chapitre on introduit quelques propriétés supplémentaires des espaces topologiques Il s ? agit de propriétés de dénombrabilité ainsi que de propriétés de séparation encore appelées axiomes La dé ?nition extrêmement générale et peu restrictive des topologies ne permet en e ?et pas d ? obtenir certains résultats qui seront fondamentaux dans les applications de la topologie On étudiera le comportement de ces propriétés vis-à-vis des constructions de topologies citées plus haut et on étudiera quelques théorèmes importants pour les espaces normaux en particulier En ?n les chapitres et sont consacrés aux notions de compacité et de connexité des espaces topologiques ainsi qu ? aux notions semblables Pour rompre avec la tradition consistant à omettre les références bibliographiques dans les notes de cours je voudrais mentionner quelques ouvrages Cclassiques Ces notes sont basées essentiellement sur le cours de topologie du professeur Marc De Wilde J ? ai donné des détails et développé certains aspects en consultant notamment les ouvrages suivants Le livre est très complet et couvre bien plus que le contenu de ce cours L ? ouvrage est classique Citons également qui est cependant assez ardu J ? ai aussi regardé un ouvrage moins classique et plus abordable disponible sur le web sur demande à l ? auteur Je compléterai cette bibliographie dans les versions suivantes de ce cours Université de Liège ULg Fac des Sciences Dépt de Mathématique CChapitre Espaces topologiques Dans ce chapitre nous allons dé ?nir le concept de topologie en