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Transformee de fourier Transformation de Fourier sur R Jo? l MERKER Professeur des universités Département de Mathématiques d ? Orsay B? timent Faculté des Sciences F- Orsay Cedex www math ens fr ??merker index html joel merker math u-psud fr Dans les sec

Transformation de Fourier sur R Jo? l MERKER Professeur des universités Département de Mathématiques d ? Orsay B? timent Faculté des Sciences F- Orsay Cedex www math ens fr ??merker index html joel merker math u-psud fr Dans les sections qui vont suivre nous n ? allons pas tout de suite utiliser la puissante et sophistiquée théorie de l ? intégration de Lebesgue mais plutôt nous allons nous restreindre à l ? intégration simple au sens de Riemann des fonctions continues Historiquement parlant en e ?et les transformations de Fourier de Laplace ou de Poisson fort utiles en ingénierie sont apparues près d ? un siècle avant l ? aboutissement complet de la théorie abstraite de la mesure En vérité les aspects principaux de la transformation de Fourier peuvent être intégralement développés dans le royaume des fonctions les plus lisses et les plus régulières qui soient Ce n ? est que dans un second moment du cours que nous étudierons la transformation de Fourier étendue aux espaces généraux Lp Rd et les raisonnements plus délicats que nous aurons alors à conduire dans ce contexte appara? tront transparents et limpides pour le plus grand bien de cette si précieuse intuition de compréhension que chacun de nous doit ressentir interroger et cultiver en lui-même Naissance par analogie de la transformée de Fourier La théorie des séries de Fourier s ? applique aux fonctions dé ?nies sur le cercle unité ou de manière équivalente aux fonctions ?-périodiques sur R Dans ce chapitre une théorie de Fourier analogue est développée pour les fonctions dé ?nies sur R tout entier mais qui ne sont pas périodiques Les fonctions considérées devront décro? tre suf ?samment rapidement à l ? in ?ni pour que les concepts initiaux de la théorie aient un sens Il y plusieurs manière de caractériser la décroissance à l ? in ?ni décroissance qui sera essentiellement vitale pour la rigueur mathématique Rappelons que la série de Fourier d ? une fonction périodique lui associe une suite de nombres à savoir les coef ?cients de Fourier mais lorsqu ? il s ? agit d ? une fonction f dé ?nie sur R l ? objet analogue associé devra être une autre fonction f elle aussi dé ?nie sur R Puisque donc la tranformée de Fourier d ? une fonction sur R est à nouveau une fonction sur R contrairement aux séries de Fourier il va y avoir une symétrie fondamentale entre la fonction et sa transformée f ? f Intuitivement la transformée de Fourier est une version continue des coef ?cients de Fourier En e ?et pour toute fonction f de période au lieu de ? f k f x e ?? i ?kx dx k ?? Z la variable utilisée précédemment ?x étant dilatée du facteur convenable et alors si la fonction f est suf ?samment régulière par exemple C elle est égale à sa série de C Jo? l MERKER Cours de L MFA Université Paris-Sud Orsay ?? Fourier ? f x