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Chapitre 1 tensoriel Unversite ? Amadou Mahtar Mbow Dakar Senegal Ecole Supe ?rieure des Sciences et Techniques de L ? Inge ?nieur Dr Thierno M M Sow Cours Calcul tensoriel CAvant-propos La description des déformations des vitesses de déformation et des e

Unversite ? Amadou Mahtar Mbow Dakar Senegal Ecole Supe ?rieure des Sciences et Techniques de L ? Inge ?nieur Dr Thierno M M Sow Cours Calcul tensoriel CAvant-propos La description des déformations des vitesses de déformation et des e ?orts intérieurs dans les milieux continus nécessitent l ? utilisation de tenseurs Ce concept mathématique n ? est pas introduit en mécanique des points matériels ni en mécanique des solides indéformables car dans ces deux mécaniques élémentaires il su ?t de manipuler au plus des champs de vecteurs pour représenter mathématiquement les grandeurs physiques envisagées vitesses forces etc En outre en mécanique des milieux continus les déformations et les e ?orts intérieurs ne sont généralement pas uniformes on aura donc à envisager des champs de tenseurs On sera donc amené à généraliser les notions de gradient divergence rotationnel et laplacien pour ces champs Toutes les dé ?nitions et les équations fondamentales de la mécanique des milieux continus peuvent s ? exprimer systématiquement sous forme tensorielle Outre l ? avantage de la concision des formules cette présentation de la mécanique met clairement en évidence que tout résultat de physique devrait être tensoriel par essence c ? est-à-dire indépendant de la base choisie pour faire les calculs et indépendant du système de coordonnées choisi pour repérer un point dans l ? espace Ce cours consiste donc en un complément mathématique d ? introduction sur les tenseurs Il est en artie limité aux tenseurs opérant sur les vecteurs d ? un espace vectoriel euclidien de dimension et se restreint au minimum indispensable pour comprendre la mécanique des milieux continus Il ne peut en aucun cas être considéré comme un cours complet sur les tenseurs C Avant-propos Dans les espaces vectoriels on ne se restreint pas à l ? utilisation des seules bases orthonormées Pour repérer un point dans l ? espace on ne se restreint pas à l ? utilisation des seules coordonnées cartésiennes orthonormées Ce souci de généralité a un coût il faut introduire les notions de covariance et de contravariance ainsi que les coe ?cients de Christo ?el mais il a aussi un intérêt pédagogique on comprend mieux comment on peut dé ?nir des systèmes de coordonnées Contrairement à beaucoup de cours élémentaires les opérateurs di ?érentiels gradient divergence rotationnel et laplacien sont dé ?nis intrinsèquement c ? est-à-dire indépendamment de tout système de coordonnées et l ? on saura trouver les composantes de ces opérateurs de manière systématique quel que soit le système de coordonnées utilisé Le lecteur souhaitant conserver les restrictions précitées pourra en ignorant la variance des composantes et en annulant tous les coe ?cients de Christo ?el retrouver les formules données dans les cours simpli ?és CCHAPITRE Algèbre tensorielle Dans ce chapitre on dé ?nit les tenseurs et leurs opérations algébriques Avant d ? en donner les dé ?nitions on commence par introduire une convention de notation inventée par Albert E INSTEIN pour ses calculs en mécanique relativiste mais qui est couramment utilisée aujourd ? hui dans toutes