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Convexite MATHS -COURS FR - COURS ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES CONVEXITÉ TERMINALE ES L I FONCTION CONVEXE ?? FONCTION CONCAVE DÉFINITION Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative On dit que f est convexe sur I si

MATHS -COURS FR - COURS ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES CONVEXITÉ TERMINALE ES L I FONCTION CONVEXE ?? FONCTION CONCAVE DÉFINITION Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative On dit que f est convexe sur I si la courbe Cf est au- dessus de toutes ses tangentes sur l ? intervalle I On dit que f est concave sur I si la courbe Cf est au-dessous de toutes ses tangentes sur l ? intervalle I EXEMPLES CTHÉORÈME Si f est dérivable sur I f est convexe sur I si et seulement si f ?? est croissante sur I f est concave sur I si et seulement si f ?? est décroissante sur I REMARQUE L ? étude de la convexité se ramène donc à l ? étude des variations de f ?? Si f ?? est dérivable on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f ?? Cette dérivée s ? appelle la dérivée seconde de f et se note f ?? ?? THÉORÈME Si f est dérivable sur I et si f ?? est dérivable sur I on dit aussi que f est fois dérivable sur I f est convexe sur I si et seulement si f ?? ?? est positive ou nulle sur I f est concave sur I si et seulement si f ?? ?? est négative ou nulle sur I CEXEMPLES La fonction f x x est deux fois dérivable sur R f ?? x x et f ?? ?? x Comme f ?? ?? est positive sur R f est convexe sur R La fonction f x x est deux fois dérivable sur R f ?? x x et f ?? ?? x x f ?? ?? ? sur ? donc f est convexe sur ? f ?? ?? ? sur ?? ? donc f est concave sur ?? ? II POINT D ? INFLEXION DÉFINITION Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I Cf sa courbe représentative et A a f a un point de la courbe Cf On dit que A est un point d ? in exion de la courbe Cf si et seulement si la courbe Cf traverse sa tangente en A EXEMPLE PROPRIÉTÉ Si A est un point d ? in exion d ? abscisse a f passe de concave à convexe ou de convexe à concave en a CTHÉORÈME Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I de courbe représentative Cf Le point A d ? abscisse a est un point d ? in exion de Cf si et seulement si f ?? ?? s ? annule et change de signe en a EXEMPLE Le graphique de l ? exemple précédent correspond à la fonction dé ?nie par f x x ?? x On a f ?? x x ?? x et f ?? ?? x x ?? On véri ?e bien que f ?? ?? change de signe en Donc le point A d ?