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Exercice 17 Physique avancée I décembre Prof J -Ph Ansermet Corrig ?e S ?erie - Dynamique du solide Centre de masse et moment d ? inertie d ? une portion de sph ere pleine a En pla cant l ? origine d ? un repere cart ?esien au centre de la sphere l ? axe

Physique avancée I décembre Prof J -Ph Ansermet Corrig ?e S ?erie - Dynamique du solide Centre de masse et moment d ? inertie d ? une portion de sph ere pleine a En pla cant l ? origine d ? un repere cart ?esien au centre de la sphere l ? axe z confondu avec l ? axe de r ?evolution de l ? objet il vient par sym ?etrie xcm ycm La coordonn ?ee zcm du centre de masse se calcule comme suit en e ?ectuant l ? int ?egrale en coordonn ?ees sph ?eriques ? cste zcm M zdm M M z ?dV V V zdV V V ? ? R z r sin drd d Nous avons que z r cos Donc zcm V ? ? R r cos r sin drd d R ? V sin ? V ?R Reste a calculer le volume V dV V ? ? R r sin drd d R ? ?? cos ? ?R ?R R Et donc zcm V b Calcul du moment d ? inertie autour de l ? axe ? ? ? R I ? r ? dm r ? ?dV ? r ? dV ? r ? r sin drd d M V V Nous avons que r ? r sin Donc I ? ? ? ? R r sin r sin drd d R ? ? ? sin d Calculons cette derni ere int ?egrale ? ? ? sin d sin ?? cos d sin ?? sin cos d ?? cos cos ? Et ainsi on obtient R ?R ? I ? ? ? Corrig ?e S ?erie - Dynamique du solide CPhysique avancée I décembre Prof J -Ph Ansermet Chute d ? une barre en milieu visqueux a La vitesse du centre de masse s ? ?ecrit vG L En appliquant la conservation de l ? ?energie on a Einitiale Ef inale ?? L mg mvG IG mgL m L IG Rappel pour une barre IG ? m L on obtient mgL L L ?? vG mgL L m IG m IG b On a vi vG ?? GPi avec i indice des extr emit ?es respectives de la barre La somme des forces ?F ext s ? ?ecrit donc mg ?? vG ?? GP ?? vG ?? GP Ce qui donne ?F ext mg ?? vG car GP ??GP Remarque vG et varient avec le temps et sont d ?etermin ?es par les ?equations du mouvement donn ?ees en c et d c Par le point pr ?ec ?edent mv G mg ?? vG Si la vitesse d ? arriv ?ee initiale de la barre dans le liquide n ? a pas de composante sur z alors on a Sur x v Gx ?? m vGx Sur y v Gy ??g ?? m vGy On pourrait ?egalement ?ecrire ces r ?esultats avec xG et yG d On applique le th ?eor eme du moment cin ?etique appliqu ?e en G ? ?