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Traitement numerique exercice corrige 1

Chapitre Traitement Numérique du Signal De la T F à la T F D Le but de ces deux exercices est d ? étudier dans deux cas particuliers de signaux la relation entre la Transformée de Fourier dé ?nie par Z X f x t e ??i ?ftdt R et la Transformée de Fourier Discrète calculée par NX ?? kn ??i ? k N ?? XD k x n e N n Pour cela l ? étude sera menée en plusieurs étapes ?? problème du support ?ni du signal observé e ?et de la troncature sur la Transformée de Fourier étudié par le passage de la Transformée de Fourier à la Transformée de Fourier Tronquée Z L XL f x t e ??j ?f t dt ?? problème de l ? échantillonnage du signal passage de la Transformée de Fourier Tronquée à la Transformée de Fourier Numérique NX ?? XN f x nTE e ??i ?fnTE n C Chapitre Traitement Numérique du Signal ?? et en ?n pour le deuxième exercice seulement problème du calcul numérique de la Transformée de Fourier Numérique qui ne peut être calculée sur une échelle continue en fréquence mais dont le résultat sera forcément discrétisé en fréquence passage à la Transformée de Fourier Discrète EXERCICE Etude de la TFD d ? un signal à spectre continu On considère le signal x t e ??at pour t ? pour t avec a Montrer que la transformée de Fourier tronquée ZL XL f x t e ??j ?ftdt s ? écrit XL f X f G f L o? X f est la transformée de Fourier de x t Le terme G f L représentant l ? erreur commise en utilisant la Transformée de Fourier Tronquée à la place de la véritable Transformée de Fourier déterminer le module et la phase de cette erreur multiplicative Donner un encadrement de G f L que l ? on chi ?rera pour L a Pour L a donner une valeur approchée de la phase de G f L Dans un deuxième temps le signal est échantillonnée à la fréquence d ? échantillonnage FE TE et on remplace la Transformée de Fourier Tronquée de x t par la Transformée de Fourier Numérique TFN NX ?? XN f x nTE e ??i ?fnTE n a Comment faut-il choisir la fréquence d ? échantillonnage FE et le nombre de points N On sera amené à dé ?nir C De la T F à la T F D une largeur de bande spectrale ? f du signal en considérant par exemple que X ? f X b Etablir la relation entre la TFN et la TF tronquée de la question en utilisant les hypothèses suivantes ?? le spectre du signal considéré est basse fréquence et que les fréquences d ? intérêt sont telles que f FE ?? et L À a Retrouver la périodicité de la TFN EXERCICE Etude de la TFD d ? un signal à spectre de raies On considère le signal