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Syllabus de theorie version courte

Mathématiques MAT - MAT - R Absil L Beeckmans J Beleho D Boigelot L La Fuente C Leignel N Richard Haute École Bruxelles-Brabant École supérieure d ? informatique C CLicense Ce document et l ? intégralité de son contenu est sous licence Creative Commons Attribution - Pas d ? Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions International CC BY-NC-SA ? à l ? exception des logos de la haute-école Bruxelles - Brabant HE B et de l ? école supérieure d ? informatique ESI ainsi que les contenus issus des références listées dans la bibliographie qui sont la propriété de leurs détenteurs respectifs Le texte légal complet de cette licence peut être trouvé sur le site de Creative Commons https creativecommons org licenses by-nc-sa legalcode C CPremière partie Mathématiques discrètes C C CHAPITRE Algèbre booléenne Propositions et opérateurs logiques ? Calcul propositionnel et priorités des opérateurs logiques Propositions et opérateurs logiques Dé ?nition Une proposition est une a ?rmation qui possède une valeur de vérité qui peut être soit vraie soit fausse A priori cette dé ?nition n ? a rien de mathématique ? On peut l ? utiliser dans tout contexte comme en français dans l ? exemple suivant Exemple Considérez les phrases suivantes La carotte est un légume ? est une proposition Le légume est un concept clairement dé ?ni et cette proposition est vraie La carotte est un moyen de locomotion ? est une proposition Elle est fausse personne ne se déplace à dos de carotte La carotte a bon goût ? n ? est pas une proposition En e ?et la valeur de C Chapitre Algèbre booléenne vérité de cette a ?rmation dépend de qui mange la carotte Cette a ?rmation est subjective Arrache cette carotte ? et Qu ? est-ce qu ? une carotte ? ne sont pas des propositions Ces phrases ne déclarent pas un fait et n ? ont pas de valeur de vérité Il existe de la vie ailleurs dans l ? univers ? est une proposition Elle possède une valeur de vérité soit vrai soit faux Le fait qu ? on ne puisse pas décider laquelle de ces valeurs est la bonne est sans importance La suite de ce chapitre est dédiée à la complexi ?cation de ce modèle En particulier on verra comment composer une proposition à partir d ? autres propositions comment introduire des variables dans une proposition comment restreindre les valeurs de ces variables etc Ce modèle est très utilisé en logique propositionnelle un formalisme utilisé dans de nombreuses disciplines mathématiques telles que l ? algèbre l ? analyse l ? arithmétique etc Dans cette logique on raisonne la plupart du temps sur des compositions de propositions quelconques que l ? on nomme p q r Comme on ne conna? t pas a priori la valeur de vérité de la proposition originale ni de celles des sous-propositions p q r etc on doit envisager tous les cas de valeurs possibles Cette énumération requiert l ? utilisation de