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Td2 l3maths Université Abdou Moumouni de Niamey Faculté des Sciences et Techniques Département de mathématiques et informatique L mathématique B - Travaux dirigés Équations Di érentielles Ordinaires Fiche Exercice Soient a et b deux constantes strictement

Université Abdou Moumouni de Niamey Faculté des Sciences et Techniques Département de mathématiques et informatique L mathématique B - Travaux dirigés Équations Di érentielles Ordinaires Fiche Exercice Soient a et b deux constantes strictement positives On considère l'équation B di érentielle ordinaire non linéaire E x t ax t ?? bx t x t x C Montrer que l'équation E admet une unique solution maximale dé nie sur un intervalle I contenant t C Montrer que cette solution est globale c'est-à-dire dé nie sur R tout entier On suppose désormais que la donnée initiale x C véri e la condition x a b Montrer C que toute solution de E véri e aussi cette condition c'est-à-dire a x t ?? t ?? I b Trouver deux constantes c et d telles que cd x a ?? bx x a ?? bx En déduire l'expression de la solution de l'équation E Calculer la limite lorsque t ? ? de la solution de l'équation E Exercice Pour y ?? R on s'intéresse au problème de Cauchy suivant P y t sin y t t ?? R y y Soit y ?? R Montrer que le problème P admet une unique solution maximale y C Montrer que cette solution est globale c'est-à-dire dé nie sur R tout entier et est de classe C ? Quelles sont les solutions stationnaires de P les fonctions constantes On suppose que y ? Montrer que i ?? t ?? R y t ? ii lim y t lim y t ? t ? ?? ? t ? ? CExercice Soit une fonction de classe C de R dans R On considère le B système di érentiel S dx t dt x t y t x t y t dy t dt y t x t x t y t On note x t y t la solution maximale de ce système telle que x y C ?? Démontrer que x t y t e t Quel est le domaine de dé nition de x t y t On pose x t et cos u t et y t et sin u t Quelle est l'équation B C di érentielle véri ée par la fonction u t On suppose désormais que x y xy x y Démontrer que x t et y t pour tout t ?? R B Résoudre l'équation di érentielle du e t ? dt e t sin u cos u B Exercice On considère l'équation di érentielle x t t x t o? C C est une fonction de classe C dé nie de R dans R et véri ant pour t ? t les conditions t et t ? C Soit x t une solution de cette équation dé nie sur t ? et soit f t t x t Montrer que f t f t x t ?? x t t s f s ds t s En appliquant le lemme de Gronwall donner une majoration de x t sur t ?