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Première S4 Corrigé du contrôle de mathématiques Trigonométrie Fait le 18/12/14

Première S4 Corrigé du contrôle de mathématiques Trigonométrie Fait le 18/12/14 – Calculatrice autorisée Exercice 1 : Placer sur le cercle trigonométrique les points suivants en justifiant : A( π 3 ), B( π 6 ), C(- π 2 ), D( 3π 4 ), E( 7π 6 ), F(- 2π 3 ), G( 29π 3 ) Justifications : - Pour placer A : on sait que cos π 3 = 1 2 , on se place donc sur le cercle à l'abscisse 1 2 - Pour placer B : on raisonne de même en se plaçant sur le cercle à l'ordonnée 1 2 car sin π 6 = 1 2 - Pour placer C : on fait un quart de tour dans le sens négatif - Pour placer D : on utilise le fait que 3π 4 = π - π 4 - Pour placer E : on utilise le fait que 7π 6 = π + π 6 E est donc diamétralement opposé à B. - Pour placer F : on peut utiliser le fait que - 2π 3 + 2π correspond au même point sur le cercle. Or, - 2π 3 + 2π = 4π 3 et 4π 3 = π + π 3 (le point sera donc diamétralement opposé à A) - Pour placer G : 29π 3 = 30π 3 - π 3 = 10π - π 3 . Donc 29π 3 correspond au même point sur le cercle que celui associé à - π 3 Exercice 2 : Déterminer la mesure principale en radians des angles suivants en justifiant : 1) 45π 3 2) 73π 6 3) - 51π 2 4) 9π 5 1) 45π 3 ∉]-π ;π] et 45π 3 = 42π 3 + 3π 3 = 14π + π = π[2π] Or, π∈]-π ;π] Donc π est la mesure principale de 45π 3 2) 73π 6 ∉]-π ;π] 73π 6 =72π 6 +π 6 = 12π + π 6 = π 6 [2π] Or, π 6 ∈]-π ;π] Donc : π 6 est la mesure principale de 73π 6 3) - 51π 2 ∉]-π ;π] - 51π 2 = - 52π 2 + π 2 = -26π + π 2 = π 2 [2π] Or, π 2 ∈]-π ;π] Donc : π 2 est la mesure principale de - 51π 2 4) 9π 5 ∉]-π ;π] 9π 5 = 10π 5 −π 5 = 2π - π 5 = - π 5 [2π] Or, - π 5 ∈]-π ;π] Donc : - π 5 est la mesure principale de 9π 5 Exercice 3 : 1) Citer les trois propriétés du cours sur les angles orientés : a) ( ⃗ v , ⃗ u ) = - ( ⃗ u , ⃗ v ) (2π) b) (- ⃗ u ,- ⃗ v ) = ( ⃗ u , ⃗ v ) (2π) c) (- ⃗ u , ⃗ v ) = ( ⃗ u ,- ⃗ v ) = ( ⃗ u , ⃗ v ) + π (2π) 2) On considère un angle orienté ( ⃗ u ; ⃗ v ) = π 6 [2π] . En déduire la mesure des angles orientés suivants : a) ( ⃗ u ,2 ⃗ v ) =( ⃗ u ; ⃗ v )[2π] b) ( ⃗ v ,-2 ⃗ u ) = ( ⃗ v ,2 ⃗ u )+π[2π] c) (- ⃗ v ,- ⃗ u ) = ( ⃗ v , ⃗ u )[2π] (car 2>0) =( ⃗ v , ⃗ u )+π[2π] = - ( ⃗ u , ⃗ v )[2π] Donc : =-( ⃗ u , ⃗ v )+π[2π] = - π 6 [2π] ( ⃗ u ,2 ⃗ v ) = π 6 [2π] =- π 6 +π[2π] = 5π 6 [2π] d) (3 ⃗ u ,-2 ⃗ v ) = ( ⃗ u ,- ⃗ v )[2π] = ( ⃗ u , ⃗ v ) + π [2π] = π 6 + π [2π] = 7π 6 [2π] Exercice 4 : ABC est un triangle quelconque. Montrer que (⃗ AB ,⃗ AC ) + ( ⃗ CA , ⃗ CB ) + (⃗ BC , ⃗ BA ) = π [2π] Démonstration : (⃗ AB ,⃗ AC ) + ( ⃗ CA , ⃗ CB ) + (⃗ BC , ⃗ BA ) = (⃗ AB ,⃗ AC ) + (⃗ AC ,⃗ BC ) + (⃗ BC , ⃗ BA ) [2π] (car ( ⃗ CA , ⃗ CB ) = (- ⃗ AC , - ⃗ BC ) [2π] = (⃗ AC ,⃗ BC )[2π] ) D'où : (⃗ AB ,⃗ AC ) + ( ⃗ CA , ⃗ CB ) + (⃗ BC , ⃗ BA ) = (⃗ AB ,⃗ BC ) + (⃗ BC , ⃗ BA )[2π] ( d'après la relation de Chasles) =(⃗ AB , ⃗ BA )[2π] (d'après la relation de Chasles) = π [2π] (car ⃗ AB et ⃗ BA sont de sens opposés) uploads/s1/ corrige-ct-trigonometrie.pdf