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Exercice 3 Soient z0 ∈C , r > 0 et f une fonction holomorphe sur et ` a l’int´

Exercice 3 Soient z0 ∈C , r > 0 et f une fonction holomorphe sur et ` a l’int´ erieur du cercle C de centre z0 et de rayon r. Montrer que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt Fonctions de variable complexe 2020-2021 1 / 2 Exercice 3 Montrons que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt Fonctions de variable complexe 2020-2021 2 / 2 Exercice 3 Montrons que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt C est la courbe param´ etr´ ee par z(t) = z0 + reit, t ∈[0, 2π] ⇒z0 ∈ ◦ C D’apr` es la formule int´ egrale de cauchy : f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz Fonctions de variable complexe 2020-2021 2 / 2 Exercice 3 Montrons que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt C est la courbe param´ etr´ ee par z(t) = z0 + reit, t ∈[0, 2π] ⇒z0 ∈ ◦ C D’apr` es la formule int´ egrale de cauchy : f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz Z C+ f (z) z −z0 dz = Z 2π 0 f (z(t)) z(t) −z0 z′(t)dt Fonctions de variable complexe 2020-2021 2 / 2 Exercice 3 Montrons que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt C est la courbe param´ etr´ ee par z(t) = z0 + reit, t ∈[0, 2π] ⇒z0 ∈ ◦ C D’apr` es la formule int´ egrale de cauchy : f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz Z C+ f (z) z −z0 dz = Z 2π 0 f (z(t)) z(t) −z0 z′(t)dt = Z 2π 0 f (z0 + reit) z0 + reit −z0 rieitdt Fonctions de variable complexe 2020-2021 2 / 2 Exercice 3 Montrons que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt C est la courbe param´ etr´ ee par z(t) = z0 + reit, t ∈[0, 2π] ⇒z0 ∈ ◦ C D’apr` es la formule int´ egrale de cauchy : f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz Z C+ f (z) z −z0 dz = Z 2π 0 f (z(t)) z(t) −z0 z′(t)dt = Z 2π 0 f (z0 + reit) z0 + reit −z0 rieitdt = Z 2π 0 f (z0 + reit)idt Fonctions de variable complexe 2020-2021 2 / 2 Exercice 3 Montrons que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt C est la courbe param´ etr´ ee par z(t) = z0 + reit, t ∈[0, 2π] ⇒z0 ∈ ◦ C D’apr` es la formule int´ egrale de cauchy : f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz Z C+ f (z) z −z0 dz = Z 2π 0 f (z(t)) z(t) −z0 z′(t)dt = Z 2π 0 f (z0 + reit) z0 + reit −z0 rieitdt = Z 2π 0 f (z0 + reit)idt ⇒f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz = 1 2πi Z 2π 0 f (z0 + reit)idt Fonctions de variable complexe 2020-2021 2 / 2 Exercice 3 Montrons que : f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt C est la courbe param´ etr´ ee par z(t) = z0 + reit, t ∈[0, 2π] ⇒z0 ∈ ◦ C D’apr` es la formule int´ egrale de cauchy : f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz Z C+ f (z) z −z0 dz = Z 2π 0 f (z(t)) z(t) −z0 z′(t)dt = Z 2π 0 f (z0 + reit) z0 + reit −z0 rieitdt = Z 2π 0 f (z0 + reit)idt ⇒f (z0) = 1 2πi Z C+ f (z) z −z0 dz = 1 2πi Z 2π 0 f (z0 + reit)idt ⇒f (z0) = 1 2π Z 2π 0 f (z0 + reit)dt Fonctions de variable complexe 2020-2021 2 / 2 uploads/s1/ corrige-de-l-x27-exercice-3-s4-copie.pdf