Département COMELEC UE COM105 Corrigé du TD 1 Exercice 1 1. Il est clair que Tb
Département COMELEC UE COM105 Corrigé du TD 1 Exercice 1 1. Il est clair que Tb = 1 D avec D le débit binaire. On obtient donc Tb = 1µs. 2. On rappelle qu’un sinus cardinal a pour Transformée de Fourier une fonction rectangulaire. Ainsi, on a TF t 7→sinc t Ts = Π 1 Ts (f), avec Π 1 Ts (f) = Ts si |f| ≤ 1 2Ts 0 si |f| > 1 2Ts . d’où TF t 7→sinc t −Ts Ts = Π 1 Ts (f) e−2iπTsf. On en conclut que H(f) = Π 1 Ts (f) (1 −e−2iπTsf) = 2i.Π 1 Ts (f).e−iπTsf. sin(πTsf), ce qui implique que |H(f)| = 2.Π 1 Ts (f).| sin(πTsf)|. 3. D’après la formule de Bennet, la largeur de bande de s(t) est donnée par celle de |H(f)|. Par conséquent, on a B = 1 2Ts . 4. Parce que h(Ts) ̸= 1, cette mise en forme ne vérifie pas la condition de Nyquist pour le temps-symbole Ts. Il y aura donc de l’IES. 5. En ré-écrivant le signal par rapport aux sinus cardinaux, on obtient facilement que s(t) = X k ckg(t −kTs) avec g(t) = sinc t Ts et ck = ak −ak−1. (1) Par conséquent, aux instants d’échantillonnage multiples de Ts, le signal s(t) est représenté par la “nouvelle constellation” ck qui admet 3 valeurs possibles −2, 0, et 2. Par conséquent, le diagramme de l’œil est celui en bas à gauche (Quadrant Sud-Ouest). 1 6. Finalement, on peut décoder directement ck et donc obtenir ˆ ck. Ensuite, on retrouve les détections ˆ ak sur ak en supposant que l’Eq. (1) est encore valable pour les décisions, c’est-à-dire, que ˆ ck = ˆ ak −ˆ ak−1. (2) On pratique donc un codage différentiel entre deux amplitudes consécutives. Le système est initialisé par a−1 = ˆ a−1 = 0, et on en déduit donc les ˆ ak suivant l’Eq. (2). Vous verrez en COM223 que cette manière de procéder ne correspond pas au maximum de vraisemblance et n’est donc pas optimale. En fait, l’algorithme optimal est l’algortihme de Viterbi qui a été découvert en 1973 et qui est implémenté notamment dans les téléphones mobiles 2G pour gérer ce problème d’IES (induit par des échos du canal de propagation). Exercice 2 1. On rappelle que B = 1 + α 2Ts = D 2 log2(M)(1 + α) Comme α ≥0, on a 0 ≤2B log2(M) D −1 et donc D 2B ≤log2(M) L’application numérique de l’exercice conduit à log2(M) ≥3, 6 d’où l’utilisation minimale d’une 16-PAM. 2. Si M = 16, alors 1 + α = 2B log2(M) D = 1.1111 ce qui induit que α = 11.11% 3. Comme nous fournissons les spectres des filtres, il faut vérifier si l’équation suivante est valide X k R f −k Ts = constante. Clairement le spectre a ne vérifie pas le critère de Nyquist (fréquentiel). En revanche les spectres b et c vérifient le critère. Pour le spectre b, cela se voit en sommant deux spectres décalés entre eux. Pour le spectre c, il faut sommer trois spectres décalés entre eux pour s’en apercevoir. 4. Pour le spectre a, si le temps-symbole vaut (4/3)T , c’est-à-dire, une rapidité de modulation 3/(4T ), alors il n’y a pas d’IES. 2 uploads/s1/ corrige-td1-com 1 .pdf
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- Publié le Nov 14, 2022
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