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Vecteurs et translations Chapitre 8 Chapitre 8 I.Les vecteurs et les translatio

Vecteurs et translations Chapitre 8 Chapitre 8 I.Les vecteurs et les translations : I. Les vecteurs et les translations : 1.Les vecteurs : 1. Les vecteurs : 2.La translation : 2. La translation : II.Composée de deux translations et somme de deux vecteurs : II. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs : 1.Introduction et définition : 1. Introduction et définition : 2.Construction de la somme de deux vecteurs : 2. Construction de la somme de deux vecteurs : a. Cas où les vecteurs se suivent : a. Cas où les vecteurs se suivent : b. Cas où les vecteurs partent du même point : b. Cas où les vecteurs partent du même point : c. Cas général : c. Cas général : III.Composée de deux symétries centrales : III. Composée de deux symétries centrales : Exemple n° 1: A A B B I.Les vecteurs et les translations : I. Les vecteurs et les translations : vecteur Définition : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : 1.Les vecteurs : 1. Les vecteurs : directionsenslongueur  une direction,  un sens,  une longueur. ( celle donnée par la droite (AB) ) Exemple n° 2: ( de A vers B ) ( la longueur du segment [AB] ) AB AB u AB Notation : on note AB le vecteur allant de A vers B. l’origine (le départ) l’image (l’arrivée) Remarques : la norme|| AB || . la longueur du vecteur AB s’appelle également la norme du vecteur AB et se note || AB || .  un vecteur n’est pas fixe. Quelques vecteurs particuliers : Quelques vecteurs particuliers : AA vecteur nul et est noté O • Soit A un point quelconque, AA est appelé le vecteur nul et est noté O AA ou O AA ou O BAl’opposéAB BA = − AB • Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB et on note BA = − AB A A B B AB AB BA ou − AB BA ou − AB Deux vecteurs opposés ont :  la même direction,  la même longueur,  des sens contraires Définition : Deux vecteurs égaux signifie que les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur (même norme). Remarque : pour construire deux vecteurs égaux, on utilise la construction du parallélogramme (car les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et ont la même longueur). A A B B D D C C . . . . . . AB = DC AB = DC AD = BC AD = BC ABCD est un parallélogramme ABCD est un parallélogramme Propriété : Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC Inversement si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme ( éventuellement aplati ) Exercice : Dans chaque cas construire le représentant du vecteur u d’origine A ( représentant = vecteur égal ) A A Cas 1 : Cas 1 : compascompasB B AB = u u u Cas 2 : u u A A u u B B AB = u Propriété : Soient A et B deux points distincts Propriété : Soient A et B deux points distincts • Si M est le milieu de [AB] alors AM = MB • Inversement si AM = MB alors M est le milieu de [AB] • Si M est le milieu de [AB] alors AM = MB • Inversement si AM = MB alors M est le milieu de [AB] A B M 2. La translation : La translation est une transformation qui consiste à faire glisser un point suivant un vecteur donné. Fig 1 Fig 1 u u Fig 2 Fig 2 La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation de vecteur u La figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation de vecteur u Position  Position  A B Un autre exemple ( à ne pas noter ) ( à ne pas noter ) Le glissement a été effectué : dans la direction de la droite (AB) dans le sens A vers B, que l’on indique par la flèche d’une longueur égale à AB. l’imagela translation qui transforme A en Bpar la translation de vecteur AB On dit que le dessin en position 2 est l’image du dessin en position 1 par la translation qui transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur AB Définition : Soit M un point et AB un vecteur, On dit que M’ est l’image de M par la translation de vecteur AB lorsque MM’ = AB On note : M’ = tu( M ) tu : translation de vecteur u Exercice 1 : Construire l’image de M par la translation de vecteur AB M A B M’ Aide : En construisant le parallélogramme ABM’M on obtiendra M’ tel que AB = MM’ Aide : En construisant le parallélogramme ABM’M on obtiendra M’ tel que AB = MM’ Exercice 2 : Construire l’image du triangle ABC par la translation de vecteur u en utilisant seulement les carreaux TRANLATION3.swf A B C u u 6 à droite 6 à droite 4 en haut 4 en haut 6 à droite 6 à droite 4 en haut 4 en haut A’ A’ B’ B’ C’ C’ Propriétés : La translation transforme une figure en une figure superposable. La translation conserve : • les distances, • l’alignement des points, • le parallélisme ou l’orthogonalité des droites, • les mesures des angles, • les milieux des segments, • les aires et les périmètres. En résumé : les phrases suivantes sont équivalentes (elles veulent dire la même chose) • AB = CD • ABDC est un parallélogramme • D est l’image de C par la translation de vecteur AB • D est l’image de C par la translation qui transforme A en B • AB = CD • ABDC est un parallélogramme • D est l’image de C par la translation de vecteur AB • D est l’image de C par la translation qui transforme A en B A B D C II. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs : A B C F1 F2 F3 Construisons l’image de F1 par la translation de vecteur AB. On note F2 Construisons l’image de F2 par la translation de vecteur BC. On note F3 Conclusion : Il existe une translation permettant de passer directement de F1 à F3. C’est la translation de vecteur AC. 1.Introduction et définition : 1. Introduction et définition : Propriété : A, B et C étant trois points du plan, la composée de la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC est la translation de vecteur AC. On dit que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC On note AC = AB + BC ( cette relation est appelée « relation de Chasles » ) 2. Construction de la somme de deux vecteurs : A B C AB BC AC   (On utilise la relation de Chasles) a. Cas où les vecteurs se suivent : a. Cas où les vecteurs se suivent : b. Cas où les vecteurs partent du même point : b. Cas où les vecteurs partent du même point : A C D B AB AC AB BD    AB AC AD   (On utilise la règle du parallélogramme puis la relation de Chasles) c. Cas général : u u v v v v u + v u + vEn utilisant la construction du parallélogramme on retrouve le cas a. ou le cas b. En utilisant la construction du parallélogramme on retrouve le cas a. ou le cas b. III. Composée de deux symétries centrales : I J IJ 2IJ A B C A’ C’ B’ A’’ B’’ C’’ Remarque : dans CC’C’’ on utilise les théorèmes 1 et 3 pour montrer que ( IJ ) // ( CC’’ ) et 2IJ = CC’’ Propriété : I et J étant deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur IJ + IJ que l’on note 2IJ Quelques notations : M’ = tu( M ) signifie que M’ est l’image de M par la translation de vecteur u M’ = tu( M ) signifie que M’ est l’image de M par la translation de vecteur u M’ = sA( M ) signifie que M’ est l’image de M par la symétrie de centre A M’ = sA( M ) signifie que M’ est l’image de M par la symétrie de centre A M’ = s(d)( M ) signifie que M’ est l’image de M par la symétrie d’axe (d) M’ = s(d)( M ) signifie que M’ est l’image de M par la symétrie d’axe (d) uploads/s1/ cours-vecteurs-et-translations.pdf