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cours de mathématiques en seconde . Vecteurs, translations et coordonnées dans

cours de mathématiques en seconde . Vecteurs, translations et coordonnées dans le plan. 0. Point de vue historique : Le mot « vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter) La notion de vecteur est le fruit d‘une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. I. Les vecteurs : 1.Définition et vocabulaire : Définitions : Un vecteur est un objet mathématique défini par : - une direction; - un sens; - une longueur. On le représente par une flèche . Si on représente cette flèche à partir d‘un point A (appelée origine) et qu‘on note B son extrémité, alors : - La direction du vecteur est celle de la droite (AB), - Le sens du vecteur est le sens de l‘origine A vers l‘extrémité B, - La longueur (appelée norme) du vecteur est la longueur AB du segment [AB]. On a : Vocabulaire : - Le vecteur est l‘opposé du vecteur . On a - est appelé le vecteur nul et est noté . Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 1/9 2. Egalité de deux vecteurs : Propriétés : - a. Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si : Les vecteurs et ont même direction, le même sens et la même longueur (norme). - b. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D; - c. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ; Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme alors 3. Milieu d‘un segment : Propriété : Soint A et B deux points distincts du plan . - Si M est le milieu de [AB], alors . - Réciproquement, si alors M est le milieu de [AB]. II. La translation : 1. Vocabulaire : - Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu‘elles ont la même direction - Il y a deux sens de parcours sur une droite : de A vers B ou bien de B vers A Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 2/9 Le déplacement de la figure a été effectué : - dans la direction de la droite (AB) - dans le sens A vers B, que l‘on indique par la flèche - d‘une longueur égale à AB. On dit que le dessin en position B est l‘image du dessin en position A par la translation qui transforme A en B ou, autrement dit, par la translation de vecteur . 2. Propriétés des translations : Construire l‘image d‘une figure par une translation revient à faire glisser cette figure dans une direction, un sens et avec une longueur donnée. Un tel glissement n‘entraîne pas de déformation ni de changement de disposition . Propriétés : Dans une translation ; - les longueurs; - le parallélisme; - la perpendicularité; - les angles sont conservés. - Une translation transforme une droite en une droite parallèle. - Par une translation, une figure géométrique est transformée en une figure géométrique semblable. - Pour construire l‘image d‘une figure géométrique, on ne construit donc que l‘image de ses points caractéristiques : - pour un segment, ses extrémités; - pour un triangle, ses trois sommets; - pour un cercle, son centre et son rayon. Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 3/9 2. Egalité de deux vecteurs : Propriétés : Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si : - a. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D; - b. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ; III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs : Propriétés : Soient A, B et C trois points du plan, la composée de la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est la translation de vecteur . On dit que le vecteur est la somme des vecteurs et . On note : ( cette relation est appelée « relation de Chasles ») Construction de la somme de deux vecteurs : On utilise la méthode du << bout à bout>>, C‘est à dire qu‘on représente le vecteur et a son extrémité on ajoute le vecteur et on obtient le vecteur qui est égal au vecteur (d‘après la relation de Chasles). L‘extrémité de l‘un est aussi l‘origine de l‘autre . IV. Composée de deux symétrie centrales : Propriété : Soient I et J deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur , Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 4/9 que l‘on note . Preuve : I milieu de [AA‘] et J milieu de [A‘A‘‘] On en déduit que d‘après le théorème des milieux (étudié en quatrième). cqfd V. Coordonnées dans un repère : 1. Repères : Trois points non alignés O,I,J ,tels que , définissent un repère du plan. On note souvent 2. Coordonnées d‘un vecteur. Propriété : Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 5/9 Dans le plan muni d‘un repère , si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées . Ces coordonnées correspondent au déplacement horizontal puis vertical pour aller de A à B (affectés de signes). Exemple : Dans un repère du plan, soient A(1 ; 2) et B(3 ; 4) donc les coordonnées de sont . Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 6/9 3. Coordonnées du milieu d‘un segment : Propriété : Dans le plan muni d‘un repère , si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : . Exemple : Dans un repère , on donne A(1 ; 2) et B(3 ; 4) : conclusion : Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont (2 ; 3) Propriété : Dans le plan muni d‘un repère , si deux points A et B ont pour coordonnées respectives ( ; ) et ( ; ), alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule : Attention : aucune simplification n‘est possible dans cette formule entre la racine et les carrés . Preuve : Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 7/9 Considérons le triangle ABC de la figure rectangle en C, d‘après le théorème de Pythagore (étudié en quatrième) AB²=AC²+BC² d‘ où Exemple : Dans un repère du plan , Reprenons l‘exemple précédent avec A(1 ; 2) et B(3 ; 4) : conclusion : La distance AB vaut . Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 8/9 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ce document a été téléchargé sur http://www.mathovore.fr - Page 9/9 uploads/s1/ cours-vecteurs-translations-et-coordonnees-dans-le-plan-maths-seconde-50.pdf