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DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE STATISTIQUE FACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCES

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE STATISTIQUE FACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCES – UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL SIGLE DU COURS : MAT 2600 TITRE DU COURS : Algèbre 1 NOM DES PROFESSEURS : Yvan Saint-Aubin, Colin Jauffret DATE DE L’EXAMEN : Le 19 décembre 2017 de 9h00 à 11h50 — Final DIRECTIVES PÉDAGOGIQUES : • Pas documentation; pas calculatrice. • L’examen est sur 60; il compte pour 35% du cours. • Vous répondez à même ce questionnaire. Utilisez le recto et le verso au besoin. • Toutes les réponses doivent être justiﬁées rigoureusement. NOM et PRÉNOM : __________________________________ NUMÉRO D’IDENTIFICATION : ______________________ 2. 3. 4. 5. 6. 1. Page 1 de 9 1. Soit G un groupe ﬁni abélien. Considérer le morphisme ϕ : G →G g 7→g2 (2) (a) Montrer que ϕ est un morphisme de groupe. (4) (b) Un carré dans G est un élément g ∈G qui s’écrit comme g = h2 pour un h ∈G. Montrer que le nombre de carrés dans G est égal à l’index (G : ker ϕ). Page 2 de 9 2. Un groupe G est dit métabélien s’il contient un sous-groupe normal A◁G tel que A et G/A sont tous les deux abéliens. Soit G un groupe métabélien et K◁G un sous-groupe normal. Cette question vise à démontrer que le quotient G/K est aussi métabélien. Soit A◁G un sous-groupe comme dans la déﬁnition, c’est-à-dire tel que A et G/A sont tous les deux abéliens. (4) (a) Montrer que le produit AK des sous-groupes A ◁G et K ◁G est un sous-groupe normal de G. (4) (b) Montrer que AK/K ≃A/A ∩K et conclure que AK/K < G/K est abélien. (4) (c) Montrer que (G/K)/(AK/K) ≃(G/A)/(AK/K) et conclure que (G/K)/(AK/K) est abélien. (2) (d) Conclure que G/K est métabélien. Page 3 de 9 3. Soit G un groupe d’ordre 12 qui agit sur lui-même par conjugaison. On considère son équation de classes |G| = X orbites O |O|. Dites pourquoi chacune des équations de classes suivantes est impossible. (2) (a) 12 = 1 + 3 + 4 + 4 + 4 (2) (b) 12 = 4 + 4 + 4 (2) (c) 12 = 1 + 1 + 1 + 4 + 5 (2) (d) 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 4 (considérer la cardinalité du centre) (2) (e) 12 = 1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 (considérer la cardinalité du quotient G/Z(G)) Page 4 de 9 4. Soit En = {1, 2, 3, 4, . . . , n} et soit E(k, n) l’ensemble des sous-ensembles de En de exactement k éléments. Par exemple, E(2, 4) := {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} . On déﬁnit une action de Sn sur E(k, n) en posant pour une permutation σ ∈Sn et un sous- ensemble A = {a1, . . . , ak} ∈E(k, n) que σ · A = σ(A) ou plus explicitement que σ · ({a1, . . . , ak}) := {σ(a1), . . . , σ(ak)}. (3) (a) Vériﬁer qu’il s’agit d’une Sn-action sur E(k, n). (3) (b) Quelle est l’orbite de {1, . . . , k}? Justiﬁer. (6) (c) Quel est le stabilisateur de {1, . . . , k}? Justiﬁer. (3) (d) Conclure que |E(k, n)| = n! k!(n−k)!. Page 5 de 9 (5) 5. Montrer que pour n > 2, le groupe diédral Dn := ⟨r, s : rn = 1, s2 = 1, srs = r−1⟩ est isomorphe à un produit semidirect de ses sous-groupes : Dn ≃⟨r⟩⋊⟨s⟩ Page 6 de 9 (4,6) 6. Montrer qu’il n’y a pas de groupe simple d’ordre 28 ou 80. Colin JAUFFRET Page 7 de 9 Page 8 de 9 uploads/s1/ departement-de-mathematiques-et-de-statistique-faculte-des-arts-et-des-sciences-universite-de-montreal.pdf