Feuille FVG : calcul diff´ erentiel 1. (Edg01) Soit U un ouvert de R2 (resp R3),

Feuille FVG : calcul diff´ erentiel 1. (Edg01) Soit U un ouvert de R2 (resp R3), une application num´ erique f d´ efinie dans U est dite harmonique si et seulement si ∆f = 0 o` u ∆f = ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 (resp) ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 est le laplacien de f. a. Pour (x, y) ∈R2 et z = x + iy, montrer que f est harmonique lorsque f est d´ efinie par : f((x, y)) = ln eze−z b. Montrer que si f est harmonique et de classe C3 alors ∂f ∂x et y ∂f ∂x −x ∂f ∂y sont harmoniques. c. V´ erifier que f((x, y, z)) = arctan y x + arctan z y + arctan x z est harmonique sur R∗3. 2. (Edg02) ´ Etudier la continuit´ e, l’existence et la continuit´ e des d´ eriv´ ees partielles pour les fonctions f suivantes    (x2 + y2) sin 1 x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)    x3 −y3 x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)      e 1 x2 + y2 −1 si x2 + y2 < 1 0 si x2 + y2 ≥1 ( x2 si |x| > y 0 si |x| ≤y 3. (Edg03) Montrer que f : Mn(R) →Mn(R) telle que f(X) = X2 admet des d´ eriv´ ees dans toutes les direc- tions. Calculer DUf(X). Mˆ eme question avec la fonction det de Mn(R) dans R. On trouvera DU det(M) = tr tCom(M)U
4. (Edg04) Soit f ∈C2(R) et g de R2 dans R d´ efinie par g((x, y)) =    f(x) −f(y) x −y si x ̸= y f ′(x) si x = y montrer que g ∈C1(R2). 5. (Edg05) Prouver l’existence et comparer les d´ eriv´ ees par- tielles ∂2f ∂x∂y ((0, 0)), ∂2f ∂y∂x((0, 0)) pour la fonction f d´ efinie dans R2 par    xy(x2 −y2) x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 6. (Edg06) D´ eterminer les extr´ ema locaux des applications suivantes R2 : x2 + xy + y2 + 2x + 3y R2 : x3 + y3 ]0, π[2 : sin x + sin y + cos(x + y) 7. (Edg07) Soit a > 0, trouver le minimum de f d´ efinie de R2 dans R par f = p x2 + (y −a)2 + p y2 + (x −a)2 8. (Edg08) Soit f une fonction homog` ene de degr´ e k et C1 dans le plan. Cela se traduit par : f ◦hO,λ = λkf o` u hO,λ d´ esigne l’homoth´ etie de centre O et de rapport λ. a. En appliquant l’op´ erateur ∂ ∂x sur cette relation, montrer que ∂f ∂x et ∂f ∂y sont homog` enes de degr´ e k −1. b. Pour un point m fix´ e, en d´ erivant l’application λ →f ◦ho,λ(m) d´ emontrer la formule d’Euler ∂f ∂x(m)x(m) + ∂f ∂y (m)y(m) = kf(m) 9. (Edg09) Fonctions holomorphes. On s’interesse ici aux fonctions ` a valeurs complexes d’une variable complexe. On commence par red´ efinir des notations usuelles afin de les faire entrer dans le cadre des syst` emes de coordonn´ ees x = Re, y = Im, z = x + iy, z = x −iy On notera bien que le derni` ere relation n’est pas une ´ egalit´ e entre nombres complexes mais entre fonctions complexes. De mˆ eme z n’est pas le conjugu´ e d’un nombre complexe mais la conjugaison elle mˆ eme. Les fonctions x et y forment un syst` eme de fonctions coordonn´ ees. On aura donc en particulier pour tous les w complexes : z(w) = w, x(w) = Re w, y(w) = Im w, z(w) = w Normalement les op´ erateurs ∂ ∂x et ∂ ∂y agissent sur les fonctions ` a valeurs r´ eelles, on les ´ etend aux fonctions f ` a valeurs complexes par lin´ earit´ e (complexe). On pose donc : ∂f ∂x = ∂Re f ∂x + i∂Im f ∂x ∂f ∂y = ∂Re f ∂y + i∂Im f ∂y On d´ efinit des op´ erateurs lin´ eaires ∂ ∂z et ∂ ∂z sur les fonc- tions ` a valeurs complexes par les formules : ∂ ∂z =1 2  ∂ ∂x −i ∂ ∂y  ∂ ∂z =1 2  ∂ ∂x + i ∂ ∂y  Soit f une fonction de classe C1 dans C. Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisation commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ 1 document produit par maquisdoc.net le 24 aoˆ ut 2009 Feuille FVG : calcul diff´ erentiel a. Montrer que, pour tous complexes m et h : f(m + h) −f(m) = ∂f ∂z (m)h + ∂f ∂z (m)h + r(h) avec r(h) |h| 0 − →0 b. Pour tout complexe m, on note τm la fonction d´ efinie dans C∗par : τm(h) = f(m + h) −f(m) h Montrer l’´ equivalence entre les deux propri´ et´ es sui- vantes : (1) τm admet une limite en 0 (2) ∂f ∂z (m) = 0 On dit alors que f est holomorphe en m. Cette cr´ eation est mise ` a disposition selon le Contrat Paternit´ e-Pas d’utilisation commerciale-Partage des Conditions Initiales ` a l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/ 2 document produit par maquisdoc.net le 24 aoˆ ut 2009 uploads/s1/ differentielle.pdf

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• Publié le Sep 26, 2022
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• Langue French
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