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DS 5 – TS1 – janvier 2013 Exercice 1 Au cours d’une séance, un joueur de tennis

DS 5 – TS1 – janvier 2013 Exercice 1 Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note Rn l’événement « le joueur réussit le n-ième service » et n R l’événement contraire. Soit xn la probabilité de Rn et yn celle de n R . La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0.7. On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées : - si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0.8 ; - si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0.7. 1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. a. Déterminer les valeurs prises par X puis la loi de probabilité de X. (on pourra utiliser un arbre de probabilités). b. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 2. On s’intéresse maintenant au cas général. a. Donner les probabilités conditionnelles ) R ( p 1 n n R + et ) R ( p 1 n n R + . b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : xn + 1= 0.1xn + 0.7. 3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par un = 9xn – 7 . a. Déterminer la nature de la suite (un). b. En déduire l’expression de un puis de xn en fonction de n. c. Etudier la limite de la suite (xn). Exercice 2 Les cinq questions sont indépendantes. 1. Dans un lycée donné, on sait que 55 % des élèves sont des filles. On sait également que 35 % des filles et 30 % des garçons déjeunent à la cantine. On choisit au hasard un élève du lycée. Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ? 2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément. Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ? 3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 5 1 . Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10 – 3 . 4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts. On appelle A l’événement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’événement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ». On suppose que les événements A et F sont indépendants. On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0.02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0.069. On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ? 5. On considère l’algorithme : A et C sont des entiers naturels C prend la valeur 0 Répéter 9 fois A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur C + 1 Fin Si Fin répéter Afficher C. Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée en sortie. Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres. Correction du DS 5 Exercice 1 - Amérique du sud – novembre 2012 1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement. a. X prend les valeurs 0, 1 et 2. p(X = 0) = p ( 1 R ∩ 2 R ) = 0.3 × 0.3 = 0.09 p(X = 1) = p (R1 ∩ 2 R ) + p ( 1 R ∩R2) = 0.7 × 0.2 + 0.3 × 0.7 = 0.35 p(X = 2) = p (R1 ∩R2) = 0.7 × 0.8 = 0.56 D’où la loi de probabilité de X : X 0 1 2 pi 0.0 9 0.3 5 0.56 b. E(X) = 0.35 + 2 × 0.56 = 1.47. 2. On s’intéresse maintenant au cas général. a. ) R ( p 1 n n R + = 0.8 et ) R ( p 1 n n R + = 0.7. b. Pour tout entier naturel non nul n, on a, d’après la formule des probabilités totales : xn + 1 = ) R ( p 1 n+ = p (Rn ∩ 1 n R + ) + p ( n R ∩Rn + 1) = p(Rn) × ) R ( p 1 n n R + + p( n R ) × ) R ( p 1 n n R + = 0.8xn + 0.7 yn = 0.8xn + 0.7 (1 – xn ) = 0.8xn + 0.7 – 0.7xn = 0.1xn + 0.7. 3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par un = 9xn – 7. a. ∀n∈N*, on a : un + 1 = 9xn + 1 – 7 = 9(0.1xn + 0.7) – 7 = 0.9xn + 6.3 – 7 = 0.9xn – 0.7 = 0.1(9xn – 7) = 0.1 un. Donc la suite (un) est une suite géométrique de raison q = 0.1 et de premier terme u1 = 9x1 – 7 = 9 × 0.7 – 7 = –0.7. b. ∀n∈N*, on a : un = u1 qn – 1 = –0.7 × 0.1n – 1 = –0.7 × 0.1 – 1× 0.1n = –7 × 0.1n un = 9xn – 7 ⇔ 9xn = un + 7 ⇔xn = 9 1 un + 9 7 ⇔xn = – 9 7 × 0.1n + 9 7 . c. +∞ → nlim 0.1n = 0 car –1 < 0.1 < 1 donc par produit +∞ → nlim (– 9 7 × 0.1n ) = 0 et par somme +∞ → nlim (– 9 7 × 0.1n + 9 7 ) = 9 7 donc +∞ → nlim xn= 9 7 . Exercice 2 – Antilles –guyane - juin 2012 1. Soit F l’événement : « l’élève choisi est une fille » et C l’événement : « l’élève choisi déjeune à la cantine ». D’après l’énoncé : p(F) = 0.55 ; pF(C) = 0.35 et ) C ( p F = 0.3. On peut dresser l’arbre suivant : 0.35 F et F forment une partition de l’univers donc d’après la loi des probabilités totales, on a : p( C ) = p(F C ∩ ) + p( C F∩ ) = p(F) × pF( C ) + p(F) × ) C ( p F = 0.55 × 0.65 + 0.45 × 0.7 = 0.6725 La probabilité qu’un élève ne déjeune pas à la cantine est 0.6725. R2 2 R R1 R2 2 R 1 R X = 2 X = 1 X = 1 X = 0 0,7 0,8 0,3 0.2…. 0.7 0.3 Rn+1 1 n R + Rn Rn+1 n R xn 0,8 0,3 0.2…. 0.7 yn 1 n R + F C F 0,55 0,7 0.65…. 0.3 0.45 C C C 2. Le nombre de tirages simultanés de 3 jetons parmi 10 est :         3 10 = 120. L’événement contraire de « tirer au moins un jeton pair » est « tirer 3 jetons impairs » ; Il y a 5 jetons impairs parmi les 10, donc le nombre de tirages de 3 jetons impairs est         3 5 = 10. Donc le nombre de tirages avec au moins un jeton pair est : 120 – 10 = 110. 3. Y suit la loi binômioale de paramètres n = 20 et p = 5 1 donc : p(Y≥ 2) = 1 – p(Y≤ 1) = 1 – p(Y = 0) – p(Y = 1) = 1 – 20 5 4       –         1 20 × 5 1 × 19 5 4       ≈ 1 – 0.0116 – 0.0576 ≈ 0.931 à 10 – 3 près. Ou bien en utilisant la calculatrice pour trouver p(Y≤ 1) : p(Y≥ 2) = 1 – p(Y≤ 1) = 1 – 0.069 ≈ 0.931. 4. On sait d’après l’énoncé que p(A) = 0.02 , p(A ∪F) = 0.069 et p(A ∩F) = p(A) × p(F) car A et F sont indépendants. p(A ∪F) = p(A) + p(F) – p(A ∩F) ⇔ 0.069 = 0.02 + p(F) – 0.02 × p(F) ⇔ 0.069 – 0.02 = 0.98 p(F) ⇔ 0.049 = 0.98 p(F) ⇔ p(F) = 98 . 0 049 . 0 = 0.05. La probabilité que l’appareil présente le défaut F est 0.05. 5. Soit l’épreuve de Bernoulli : « donner un entier aléatoire compris entre 1 et 7 ». Cette épreuve a pour succès : uploads/s1/ ds-maths-5.pdf