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N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 1 Exercices- Probabilités co

N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 1 Exercices- Probabilités conditionnelles et variables aléatoires - Corrigé Métropole – Juin 2012 (5 points) Commun à tous les candidats Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés. On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les évènements suivants : – : « Le candidat est retenu sur dossier », – : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien », – : « Le candidat est recruté ». a. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous. Voir ci-contre b. Calculer la probabilité de l’évènement . c. On note l’évènement « Le candidat n’est pas recruté ». Démontrer que la probabilité de l’évènement est égale à 0,93. et les évènements sont disjoints deux à deux d’où : 2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07. On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. Les 5 dossiers sont étudiés de manière indépendante et chaque candidat a une probabilité égale à 0,07 d’être recruté (car la probabilité de ne pas être recruté est 0,93). Donc suit la loi binomiale de paramètres et . b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à . N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 2 à près. 3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ? On considère maintenant la loi binomiale de paramètres (à déterminer) et . car la fonction est strictement croissante sur Il faut donc étudier au moins dossier pour être sûr de recruter au moins un candidat. Nouvelle-Calédonie - Mars 2012 (4 points) On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L’urne contient trois boules rouges et une boule noire. L’urne contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urne , sinon il tire au hasard une boule dans l’urne . On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ». 1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire. N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 3 b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est . c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé. 2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. Les dix parties jouées sont indépendantes donc est la loi binomiale de paramètres et au millième près. b. Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. au millième près. c. On donne le tableau suivant : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,0091 0,0637 0,2110 0,4467 0,6943 0,8725 0,9616 0,9922 0,9990 0,9999 Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne au moins N parties ». À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à ? . La probabilité de gagner 7 parties ou plus est inférieure à 0,1. Pondichéry avril 2012 (6 points) Les deux parties sont indépendantes. Partie A Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes. N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 4 1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? Il y a groupes différents de 5 coureurs choisis parmi les 50. 2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel : – « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50] – l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x. Variables Initialisation Traitement Sortie a,b,c,d,e sont des variables du type entier a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d) ou (b = e) ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e) Début du tant que a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ; c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ; e := rand(1, 50) Fin du tant que Afficher a,b,c,d,e 1. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme : L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15}; L2 = {8,17,41,34,6}; L3 = {12,17,23,17,50}; L4 = {45,19,43,21,18} ? Les listes et ne conviennent pas car il y a deux numéros identiques. Les listes et ont pu être obtenues avec cet algorithme. 2. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ? L’algorithme permet de déterminer de manière aléatoire un groupe de cinq coureurs qui vont être contrôlés à l’issue de l’étape. 3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1. La probabilité qu’un joueur soit dans le groupe des 5 personnes retenues pour le contrôle antidopage est . Donc la probabilité qu’un joueur soit contrôlé est 4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course. a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres. Les tirages des groupes de cinq coureurs sont indépendants donc suit la loi binomiale de paramètres (nombre d’étapes et donc de contrôles possibles) et (probabilité d’être contrôlé). b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants : N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13 Page 5 – il a été contrôlé 5 fois exactement ; à près. – il n’a pas été contrôlé ; à près. – il a été contrôlé au moins une fois. Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P(T ) = 0,05. On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé ». Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que : – si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ; – si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas. 1. Calculer P(D). On peut s’aider de l’arbre suivant qui modélise la situation : On a donc : 2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ? Amérique du Nord - Mai 2012 Commun à tous les candidats Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis. Partie A On choisit au hasard un membre de cette association et on note : – uploads/s1/ ex-probabilites-conditionnelles-et-variables-aleatoires-corrige.pdf