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MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSIT

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITÉ Abderrahmane MIRA de BEJAIA FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES Département de Mathématiques Mémoire présenté pour l’obtention du diplôme de Master en Mathématiques Option : Analyse et Probabilités Par MEHENAOUI Naima KHALFOUNE Samia THÈME Etude variationnelle du système d’élasticité linéaire Soutenu publiquement, le 25 /05/2017 devant le jury composé de : Mme H. BECHIR M. C. A Université A. Mira de Béjaia Présidente Mme S. TAS Prof Université A. Mira de Béjaia Promotrice Mr B. KERAI M. A. A Université A. Mira de Béjaia Examinateur 1 Remerciements Tout d’abord, nous remercions Dieu, le tout puissant, de nous avoir aidé à accomplir ce modeste travail. Nous adressons nos chaleureux remerciements et témoignons notre profonde recon- naissance à notre promotrice Mme S. TAS pour les conseils qu’elle n’a pas cessé de nous prodiguer, ses orientations, ses judicieuses remarques et sa disponibilité. Nous remercions vivement Mme H. Bechir pour l’honneur qu’elle nous fait en présidant le jury de soutenance. Nous tenons à remercier également Mr B. Kerai d’avoir bien voulu examiner ce travail ainsi que pour son aide et ses conseils forts utiles. En…n, nous témoignons notre gratitude à tous ceux qui nous ont aidé de près ou de loin à réaliser ce mémoire. i Dédicaces Je dédie ce mémoire à : Ma mère, pour son soutien, ses sacri…ces, ses précieux conseils, son assistance et sa présence dans ma vie . Mon père, pour les longues années de sacri…ce et de privation a…n de m’aider à avancer dans la vie. Un grand merci donc à mes parents pour les valeurs inculquées et leur soutien perma- nent. Ma soeur qui ne cesse d’être pour moi un exemple de persévérance, de courage et de générosité. Mon adorable frère Said. Toute ma grande famille. Tous mes amis. Mes professeurs. Toute ma promotion de 2017. KHALFOUNE Samia ii Dédicaces Je dédie ce modeste travail à : Ma mère qui a tant oeuvré pour ma réussite. Mon père, pour son soutien, ses sacri…ces, ses précieux conseils et sa présence dans ma vie. Ma grand mère Mes deux frères. Tous mes amis et camarades de promotion 2017. MEHENAOUI Naima iii Table des matières Introduction 2 Historique 4 1 Préliminaires et outils de base 5 1.1 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Pourquoi parle-t-on de tenseur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Dé…nition d’un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Tenseur d’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Quelques rappels sur les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Espace L2( ) et (L2( ))n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Espace de Sobolev H1( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Espace de Sobolev Hm( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Espace de Sobolev Hs(Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Espace de Sobolev H1 0( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.6 Théorème de trace et formule de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.7 Un résultat de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Problèmes aux limites elliptiques linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 iv Table des matières 2 Modélisation du problème d’élasticité 19 2.1 Equations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Formulation variationnelle du problème de l’élasticité linéaire 23 3.1 Problème de Dirichlet homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Problème mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Conclusion 48 Bibliographie 49 v Introduction La modélisation mathématique a acquis une importance considérable, ces dernières décennies, dans de nombreux domaines notamment dans les applications industrielles et les sciences de l’ingénieur. Elle consiste à transformer un phénomène physique en des modèles abstraits accessibles à l’analyse et au calcul. La modélisation d’un problème réel utilise les lois de la physique (mécanique, thermodynamique, électromagnétisme, acous- tique, etc.). Ces lois sont généralement, écrites sous forme de bilans qui se traduisent par des Equations aux Dérivées Partielles (EDP). Dans ce mémoire, nous nous intéressons à l’analyse mathématique de l’élasticité linéaire qui est un système d’équations aux dérivées partielles de type elliptique correspondant à un modèle physique stationnaire, c’est-à-dire indépendant du temps. Ce système a pour objectif d’étudier le comportement mécanique des solides déformables, considérés comme milieux continus, dont le matériau obéit à une loi constitutive linéaire réversible. En outre, les déformations et les déplacements provoqués par des actions extérieures sont considérés très faibles. Soulignons aussi que dans ce mémoire, nous nous attachons prin- cipalement à étudier les e¤ets mécaniques (déformations, contraintes) se produisant dans les solides en déformation, en nous préoccupant assez peu des phénomènes thermiques qui peuvent se produire simultanément. De manière plus précise, nous allons supposer que la température n’in‡ue pas sur les relations entre contraintes et déformations dans le solide. Dans ces conditions, nous décrivons les déformations des solides élastiques au moyen de la seule équation (mécanique) de conservation de la quantité de mouvement car elle est tout à fait découplée de l’équation (thermique) de conservation de l’énergie. 1 Introduction Nous exposons, en premier lieu, les dé…nitions de di¤érents types de tenseur qui sont primordiales pour la compréhension du problème d’élasticité ainsi que quelques rappels sur les espaces de Sobolev et la formulation variationnelles de problèmes aux limites elliptiques linéaires. Ensuite, nous montrons que le problème aux limites étudié est bien posé pour cette équation aux dérivées partielles elliptiques, c’est-à-dire qu’elle admet une solution unique qui dépend continûment des données. Nous montrons aussi que ces solutions minimisent une énergie correspondante. Nous considérons d’abord des conditions aux limites de type Dirichlet, puis des conditions mixtes. L’inégalité de Korn est l’ingrédient essentiel dans la démonstration de la coercivité de la forme bilinéaire associée au problème. Pour cela, nous nous appuyons sur l’approche variationnelle et nous faisons appel aux espaces de Sobolev le cadre le plus approprié pour l’étude des EDP en général. 2 Historique C’est au début du XIX siècle qu’est née la théorie de l’élasticité, qui a rapidement attiré l’attention de nombreux savants et mathématiciens. Il y a un siècle et demi ou même moins, des traités tels que ceux de Saint-Venant, de Love ou de Todhunter pouvaient contenir l’histoire du développement de cette discipline. Dans cette dernière décennie, l’ouvrage d’Amy Dahan a permis de rafraîchir les mémoires sur une partie de l’histoire de l’élasticité en France qui avait un lien étroit avec Cauchy. Tout au long du XIXe siècle, la théorie de l’élasticité a connu une période d’intense développement. L’histoire de l’élasticité des solides est étroitement liée au uploads/s1/ etude-variationnelle-du-systeme-d-x27-elasticite-lineaire.pdf