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Laurent Pujo-Menjouet Licence Sciences, Technologies & Santé Département de mat

Laurent Pujo-Menjouet Licence Sciences, Technologies & Santé Département de mathématiques Mention mathématiques Université Claude Bernard, Lyon I Portail Math/Info 43, boulevard 11 novembre 1918 Portail Math-Eco 69622 Villeurbanne cedex, France pujo@math.univ-lyon1.fr Fondamentaux des mathématiques 1 i Préambule L’objectif de ce cours est de faire une transition entre les connaissances en analyse et algèbre accumulées au lycée et les bases qui formeront un des piliers dans la formation en analyse et algèbre de la licence. Étant donné que le recrutement en première année est assez hétérogène, il semble assez judicieux de commencer par rappeler les notions élémentaires qui serviront tout au long de ce cours, histoire de ne perdre personne en route. Quand il sera nécessaire au début de chaque chapitre, nous rappellerons ce qui est censé être connu en terminal. Nous essaierons également dans la mesure du possible de fournir l’essen- tiel des résultats de chaque chapitre sur une page, histoire de synthétiser les connaissances à bien maîtriser pour passer au chapitre suivant. Nous fournirons autant d’exemples et de ﬁgures nécessaires aﬁn d’obtenir une meilleure com- préhension du cours. Nous essaierons également de souligner les pièges dans lesquels chacun peut se fourvoyer soit par inattention, soit par une mauvaise maîtrise du cours. Pour information, le programme ofﬁciel de cette U.E. se trouve ici, i ii Table des matières Sommaire 1 0 Conseils pour bien commencer 1 0.1 Conseils élémentaires sur les méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Conseils fondamentaux pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Conseils fondamentaux pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Conseils pour bien raisonner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.5 Tableau des lettres grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I Partie A 9 1 Calculs algébriques 11 1.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Égalités et inégalités dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Bases de logique 45 2.1 Origines de la logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Assertions et prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Quantiﬁcateurs mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Différents modes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 Nombres complexes 63 3.1 Origines de sa découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2 Nombres complexes : forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 Nombres complexes : forme géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 Arithmétique 83 4.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.3 PGCD-PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 iii TABLE DES MATIÈRES 4.5 Identité et théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.6 Théorème de Gauss et décomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . 91 4.7 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.8 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.9 Petit théorème de Fermat et Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . 94 5 Polynômes sur R ou C 97 5.1 Déﬁnition de polynômes à coefﬁcients réels ou complexes . . . . . . . . . . 98 5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 Division Euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.4 Pgcd, ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.5 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.6 Racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.7 Formule de Taylor pour les polynômes de C[X] . . . . . . . . . . . . . . . 108 II Partie B 111 1 Applications 113 1.1 Différence entre fonctions et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.3 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 1.4 Ensembles ﬁnis . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s1/ fondmath1-pdf.pdf