Universit´ e d’Orl´ eans – Facult´ e des Sciences – Licence 3e ann´ ee 2010-11
Universit´ e d’Orl´ eans – Facult´ e des Sciences – Licence 3e ann´ ee 2010-11 1 Probabilit´ es et statistiques Examen du 10 mai 2012 Dur´ ee: 2 heures Il sera tenu compte de la qualit´ e de la r´ edaction. Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´ es. Les t´ el´ ephones portables doivent ˆ etre ´ eteints. Les points sont donn´ es ` a titre indicatif. Probl` eme 1 (4 points) Soit (X, Y ) un couple de variables al´ eatoires r´ eelles de densit´ e jointe f(x, y) = ( C √xy si 0 < y < x < 1 , 0 sinon . 1. Calculer les marginales f1(x) et f2(y). En d´ eduire la valeur de C. 2. Calculer E (X), E (Y ) et cov(X, Y ). Probl` eme 2 (6 points) Si X est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans R +, on note LX(u) = E (e−uX) , u > 0 sa transform´ ee de Laplace. 1. Soit Y une variable al´ eatoire de loi exponentielle, de param` etre λ > 0. Calculer LY (u). 2. Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans R +, ind´ ependante de Y . On suppose que X admet une densit´ e fX(x). (a) Donner la densit´ e du couple (X, Y ). (b) Montrer que P {Y > X} = LX(λ). 3. On se donne maintenant n variables al´ eatoires i.i.d. ` a densit´ e X1, . . . , Xn ` a valeurs dans R +. On suppose (X1, . . . , Xn, Y ) ind´ ependantes. Montrer que P Y > X1 + · · · + Xn = P Y > X1 . . . P Y > Xn . 4. Soit M = max{X1, . . . , Xn}. (a) Montrer que P 2M > X1 + · · · + Xn = nP X1 > X2 + · · · + Xn . (b) On suppose que X1, . . . , Xn suivent une loi exponentielle de param` etre λ. i. Calculer P {X1 > X2}. ii. En d´ eduire une expression explicite de P {2M > X1 + · · · + Xn}. Tournez s.v.p. Probl` eme 3 (5 points) Soient X1, . . . , Xn des variables al´ eatoires i.i.d. de loi exponentielle de param` etre λ > 0. 1. D´ eterminer la densit´ e de Y = eX1. 2. Comment s’appelle la loi de Sn = X1 + · · · + Xn? (On ne demande pas de faire de calculs). 3. Pour quelles valeurs de u ∈R a-t-on E (euX1) < ∞? Calculer sa valeur, et en d´ eduire fn(u) = E (euSn) pour tout n ⩾1. 4. D´ eterminer f′ n(u), puis par r´ ecurrence toutes les d´ eriv´ ees de fn. 5. En d´ eduire E (Sk n) pour tout k ⩾1. Probl` eme 4 (5 points) 1. On dispose d’un ´ echantillon X1, . . . , Xn de variables al´ eatoires i.i.d. suivant une loi de Bernoulli de param` etre θ ∈[0, 1]. (a) D´ eterminer l’estimateur de maximum de vraisemblance ˆ θ de θ. (b) Cet estimateur est-il biais´ e? Est-il consistant? 2. D´ eterminer un intervalle de confiance pour θ, pour un coefficient de s´ ecurit´ e β = 0.95. On rappelle que la fonction de distribution de la loi normale standard Φ v´ erifie Φ(1.96) ≃0.975. 3. Un sondage effectu´ e sur un ´ echantillon de n = 1000 personnes r´ ev` ele 480 personnes d’opinion A, et 520 personnes d’opinion B. (a) Donner un intervalle de confiance ` a 95% pour la proportion d’opinions A (on pourra se contenter d’une valeur approch´ ee ` a 0.01 pr` es). (b) Sur combien de personnes le sondage devrait-il porter pour obtenir un intervalle de confiance de taille 2% ? (c) Si n = 1000, combien devrait-on avoir d’opinions A pour qu’on puisse rejeter l’hypoth` ese nulle H0 : “il y a plus d’opinions A que d’opinions B” avec un niveau de confiance de 95% ? 2 uploads/s1/ exam-l3probastat-mai12.pdf
Documents similaires
-
42
-
0
-
0
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jui 09, 2021
- Catégorie Administration
- Langue French
- Taille du fichier 0.1521MB