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Table des matières I Introduction à la probabilité 3 1 Analyse combinatoire . .

Table des matières I Introduction à la probabilité 3 1 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 Généralités sur les ensembles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Le nombre d’arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Le nombre de combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Application : Formule de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Expériences et évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Opérations sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.1 Probabilité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Probabilités conditionelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4.1 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II Les variables aléatoires discrètes 11 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Les variables aléatoires discètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Couple de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Indépendance entre variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Les moments d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . 13 3 Lois discrète usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Loi de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Loi Géometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 2 TABLE DES MATIÈRES 3.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 III Les variables aléatoires continues 19 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Couple de variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Les Moments d’une variable aléatoires continue . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Moements d’ordre k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Les lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.1 Loi normale génèrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.2 Propriètés de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7 Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7.2 Convergence d’une suite de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . 27 7.3 Théorème de la limite centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.4 Des lois dérivées de la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chapitre I Introduction à la probabilité 1 Analyse combinatoire 1.1 Généralités sur les ensembles : — Soit Ωun ensemble non vide. A un sous ensemble de Ω(ou une partie) de Ωsi tout élèment de A est aussi un élèment de Ω(@ω P A, ω P Ωq. On note A Ă Ω. — On appelle PpΩq l’ensemble des parties de Ω, c-à-d PpΩq “ tA, A Ă Ωu . On a donc A Ă Ωimlique que A P PpΩq. — Soient A et B deux parties de Ω. On dit que A est incluse dans B si tout élèment de A est aussi un élèment de B. On note dans ce cas A Ă B. — L’intersection de A et B est la partie de Ωnotée par A X B et déﬁnit par A X B “ tω, ω P A et ω P Bu. — uploads/s1/ cours-ing.pdf