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Fiche d’exercices 1. L’application de IR² dans IR déﬁnie par F(x,y) = x² −2xy +

Fiche d’exercices 1. L’application de IR² dans IR déﬁnie par F(x,y) = x² −2xy + 3y² + y admet un unique minimum. Vrai ou Faux ? le prouver 2. On considère les fonctions déﬁnies de IR dans IR par : f0(x) = x², f1(x) = x²(x−1)², f2(x) =|x|, f3(x) = cos(x), f4(x) = |cosx|, f5(x) = ex. On pose K = [−1,1]. Pour chacune de ces fonctions, répondre aux questions suivantes: a. Etudier la différentiabilité et la (stricte) convexité éventuelles de la fonction; donner l’allure de son graphe b. La fonction admet elle un minimum global sur IR; ce minimum est-il unique? Le cas échéant, calculer ce minimum. c. La fonction admet elle un minimum sur K ; ce minimum est-il unique? Le cas échéant, calculer ce minimum. 3. Montrer que la fonction f de IR2 dans IR déﬁnie par f(x,y) = x² + 4xy +3y² n’admet pas de minimum en (0,0). 4. Calculer les matrices hessiennes de g1 et g2 déﬁnies par : g1(x,y)= ¼x4+x2y+y2 et g2(x,y)= x3+xy−x et étudier la convexité de ces deux fonctions. 5. Écrire la matrice jacobienne de l’application (x,y,z) → (xyz, x²y + y) en tout point de R3 uploads/s1/ fiche-exercice-l1.pdf