UAE-F.S.Tétouan Dépt : Mathématiques Septembre 2020 CONTRÔLE D'ALGÈBRE 2 (SMP &

UAE-F.S.Tétouan Dépt : Mathématiques Septembre 2020 CONTRÔLE D'ALGÈBRE 2 (SMP & SMC) Ce contrôle est reparti en deux parties indépendantes, traiter une seule partie au choix • Aucun document n'est autorisé • Temps alloué : 1 heure Partie 1 : Enseignement pr´ esentiel Exercice 1. (12 points) Considérons le R-espace vectoriel R3 muni de sa base canonique B = {e1, e2, e3} où e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) et e3 = (0, 0, 1). Soient u1 = (1, 2, −1), u2 = (3, −1, 0) et u3 = (4, 1, −1) trois éléments de R3, E = V ect(u1, u2, u3) un sous espace vectoriel de R3 et F = {(x, y, z) ∈R3 | 2x + 3y −z = 0} un sous ensemble de R3. (1) Véri er que F est un sous espace vectoriel de R3. (2 pts) (2) Donner une base de F et en déduire dim F. (3 pts) (3) Calculer le rang de la famille {u1, u2, u3}, en déduire une base de E et dim E. (4 pts) (4) Montrer que R3 = E + F. (3 pts) Exercice 2. (8 points) Soit R2[X] le R-espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 2, supposons que R2[X] est muni de sa base canonique B = {1, X, X2}. Considérons A = {P ∈R2[X] | P(1) = 0} et B = vect(1 −X2, X) deux sous espaces vectoriels de R2[X]. (1) Donner une base de A et une base de B. (4 pts) (2) Déterminer A + B et A ∩B. (4 pts) Partie 2 : Enseignement pr´ esentiel et ` a distance Exercice 1. (16 points) Soit R2[X] le R-espace vectoriel des polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 2, supposons que R2[X] est muni de sa base canonique B = {1, X, X2}. Considérons A = {P ∈R2[X] | P(1) = 0} et B = vect(1 −X2, X) deux sous espaces vectoriels de R2[X] et f : R2[X] →R2[X] l'application linéaire dé nie par : f(1) = X, f(X) = 1 −X, f(X2) = 1 + 2X −2X2. (1) Donner une base de A et une autre de B. (4 pts) (2) Déterminer A + B et A ∩B. (4 pts) (3) Déterminer Kerf et en déduire Imf. (3 pts) (4) Déterminer la matrice M de f relativement à la base canonique B. (1 pts) (5) Pourquoi la matrice M est inversible ? (1 pt) (6) Donner la matrice inverse de M. (3 pts) Exercice 2. (4 points) (1) Calculer   0 1 1 1 −1 2 0 0 −2     1 2 3  et   0 1 1 1 −1 2 0 0 −2  +   0 0 −2 1 0 3 0 0 −1  . (2 pts) (2) Calculer le déterminant 3 0 0 0 2 1 −1 2 −2 5 0 3 1 3 1 1 . (2 pts) ⌞Bon Courage ⌟ Corrigé du Contrôle d'Algèbre 2 SMP & SMC (Septembre 2020) Partie 1 Exercice 1. (1) Véri ons que F est un sous espace vectoriel de R3. Soit u = (x, y, z) ∈R3, alors u ∈F ⇔ 2x + 3y −z = 0 ⇔ z = 2x + 3y ⇔ u = (x, y, 2x + 3y) ⇔ u = x(1, 0, 2) + y(0, 1, 3) Ceci pour x, y quelconques dans R, donc F est un sous espace vectoriel de R3 engendré par la famille F = {(1, 0, 2), (0, 1, 3)}. (2) Cherchons une base de F. D'après la question (1), F = {(1, 0, 2), (0, 1, 3)} est une famille génératrice de F, il su t donc de véri er qu'elle est libre. En eet, soient α, β ∈R tels que α(1, 0, 2)+β(0, 1, 3) = 0 (⋆). Alors (⋆) ⇒    α = 0 β = 0 2α + 3β = 0 ⇒  α = 0 β = 0 Donc, F est libre, et par suite c'est une base. Ainsi, dim F = Card(F) = 2. (3) Calculons le rang de la famille {u1, u2, u3}. On peut facilement voir que cette famille n'est pas libre, il su t de remarquer que u3 = u1 + u2, donc rg({u1, u2, u3}) < 3. En plus, on a rg({u1, u2, u3}) = rg({u1, u2}). Maintenant, véri ons que {u1, u2} est libre, soient α, β ∈R tels que αu1+βu2 = 0 (⋆), Alors (⋆) ⇒    α + 3β = 0 2α −β = 0 −α = 0 ⇒  α = 0 β = 0 Ainsi, la famille E = {u1, u2} est bien libre, donc rg(E) = 2 = rg({u1, u2, u3}). On a E = vect({u1, u2, u3}) = vect(E), avec E est libre, donc c'est une base de E. Par conséquent, dim E = Card(E) = 2. (4) Montrons que R3 = E + F. D'abord, on a : E + F = vect(E ∪F) = vect{(1, 0, 2), (0, 1, 3), (1, 2, −1), (3, −1, 0)}. Puisque E +F est un sous espace vectoriel de R3, donc sa dimension ne dépassera pas la dimension de R3, ainsi, la famille G = {(1, 0, 2), (0, 1, 3), (1, 2, −1), (3, −1, 0)} est forcément liée, car Card(G) = 4 > dimR3 = 3. Pour chercher une base de E + F, on éliminera un vecteur de G et examinons la sous famille restante. En eet, posons G′ = G \{1, 2, −1}, examinons si G′ est libre ou non. En eet, soient α, β, γ ∈R tels que α(1, 0, 2) + β(0, 1, 3) + γ(3, −1, 0) = 0 (⋆) Alors (⋆) ⇒    α + 3γ = 0 β −γ = 0 2α + 3β = 0 ⇒    β = γ α = −3β β = 0 ⇒    α = 0 β = 0 γ = 0 1 Alors, G′ est libre, ainsi E + F = vect(G) = vect(G′) et par suite G′ est une base de E + F et donc dim(E + F) = Card(G′) = 3. Puisque E + F est un sous espace vectoriel de R3 de dimension 3 alors E + F = R3. Exercice 2. (1) • Déterminons une base de A. Soit p = a + bX + cX2 ∈R2[X], alors p ∈A ⇔ p(1) = 0 ⇔ a + b + c = 0 ⇔ p = a + bX −(a + b)X2 ⇔ p = a(1 −X2) + b(X −X2) où a et b sont arbitraires dans R. Ainsi, la famille {1−X2, X−X2} est génératrice de A. Maintenant, véri ons que cette famille est libre. En eet, soient α, β ∈R tels que α(1−X2)+β(X −X2) = 0 (⋆). Alors (⋆) ⇒    α = 0 β = 0 α + β = 0 ⇒  α = 0 β = 0 Donc, {1 −X2, X −X2} est libre et par suite c'est une base de A. • Déterminons une base de B. On a B = vect(1−X2, X), donc la famille {1−X2, X} est génératrice de B, il su t donc de véri er qu'elle est libre. En eet, soient α, β ∈R tels que α(1 −X2) + βX = 0 (⋆). Alors (⋆) ⇒  α = 0 β = 0 Ceci, implique que {1 −X2, X} est bien libre, et par conséquent, c'est une base de B. (2) • Déterminons A + B. On a : A + B = vect({1 −X2, X −X2} ∪{1 −X2, X}) = vect({1 −X2, X −X2, X}). C'est à dire, {1 −X2, X −X2, X} est une famille génératrice de A + B, il su t donc de véri er qu'elle est libre. En eet, soient α, β, γ ∈R tels que α(1 −X2) + β(X −X2) + γX = 0 (⋆). Alors (⋆) ⇒    α = 0 β + γ = 0 α + β = 0 ⇒    α = 0 β = 0 γ = 0 Par suite, {1 −X2, X −X2, X} est une base de A + B. • Déterminons A ∩B. D'après le théorème des dimensions, on a : dim(A + B) = dim A + dim B − dim(A ∩B) où dim(A + B) = 3, dim A = 2, dim B = 2, donc dim(A ∩B) = 1, c'est à dire A ∩B est engendré par un seul vecteur. Puisque 1 −X2 ∈A ∩B et d'après ce qui est précédent, on peut écrire A ∩B = vect(1 −X2). Partie 2 Exercice 1. 2 (1) • Déterminons une base de A. Soit p = a + bX + cX2 ∈R2[X], alors p ∈A ⇔ p(1) = 0 ⇔ a + b + c = 0 ⇔ p = a + bX −(a + b)X2 ⇔ p = a(1 −X2) + uploads/s1/ corrige-du-controle-d-x27-algebre-2-smpc-sep-2020.pdf

Documents similaires

c^ NOUVELLES ÉTUDES D'HISTOIRE RELIGIEUSE CALMANN LÉVY, ÉDITEUR ŒUVRES COMPLÈTE 0 0

Table des matières I Introduction à la probabilité 3 1 Analyse combinatoire . . 0 0

Récits et Anecdotes Le Chef d’Escadrons Guy CANIOT, un homme de conviction, Dir 0 0

Institutions économique internationales 23/09 Les institutions économique inter 0 0

Jean BIDEGAIN LE Grand Orient de France SES DOCTRINES ET SES ACTES Documents in 0 0

Résolution Numéro I  -Données- Wg=0.55’ e= 7 16 ‘’ P= 7 8 ‘’ Fu= 70 klv/pouces 0 0

if'!!! "!!;' i'ît' ÉÉ|- ^^ ^ iWÊM l'Htm i/BftARN BIBLIOTHÈQUE DES ÉCOLES FRANÇA 0 0

JfHW %M-:^%;t*- 4. ^''^. :r-'^ ^' X V-* * *W^if^É«*gSw ^ .\>,, < 4^ lw-> -— \ \ 0 0

!! .. 7 Mensuel - N° 19- 2 N.F. AOUT-SEPTEMBRE 1960 DE LA SANTÉ A LA PAIX ABONN 0 0

P Breuil 2010 Axe Instrumentation 2010 Travaux pratiques d’Instrumentation Numé 0 0

• Détails
• Publié le Jan 07, 2023
• Catégorie Administration
• Langue French
• Taille du fichier 0.1464MB