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Page 1/4 jgcuaz@hotmail.com PLAN D’ETUDE D’UNE FONCTION NUMERIQUE 1) Domaine de

Page 1/4 jgcuaz@hotmail.com PLAN D’ETUDE D’UNE FONCTION NUMERIQUE 1) Domaine de définition, domaine d’étude S’il n’est pas donné dans l’énoncé, il faut chercher le domaine (ou ensemble) de définition de la fonction à étudier. Ce peut être ℝ, un intervalle, ou une réunion d’intervalles. - Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont définies sur ℝ - La fonction inverse est définie sur ] [ ] [ ;0 0; −∞ ∪ +∞ Si l’expression de la fonction présente un dénominateur, celui-ci doit être NON NUL En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies pour toutes les valeurs qui n’annulent pas leur dénominateur. La fonction tangente est définie sur 2 ; 2 , 2 2 k k k π π   − + π + π ∈     ℤ - La fonction racine carrée x x → est définie sur [ [ 0;+∞ Si l’expression de la fonction présente un radical, l’expression situé sous le radical doit être POSITIF OU NUL - La fonction logarithme népérien ln x x → est définie sur ] [ 0;+∞ Si l’expression de la fonction présente un logarithme, l’expression situé dans le logarithme doit être STRICTEMENT POSITIVE - La fonction exponentielle x x e → est définie sur ℝ Chacune de ces conditions, ou contraintes, peut entraîner la résolution d’une équation ou d’une inéquation Ces conditions ou contraintes peuvent se CUMULER 2) Parité, périodicité, conséquences graphiques Des informations sur la parité/périodicité d’une fonction peuvent s’avérer intéressante pour éventuellement restreindre le domaine d’étude de la fonction. Même si le texte ne le précise pas, il est essentiel d’avoir procédé à une telle étude 2-1) Parité : Très important : Si le domaine de définition de la fonction n’est pas symétrique par rapport à zéro, il est inutile de chercher à étudier la parité de f, car l’existence de f(x) et de f(-x) n’est pas simultanément assurée pour tout x de l’ensemble de définition - Calculer f(-x) en remplaçant dans l’expression de la fonction f, x par –x. Simplifier (notamment avec les puissances ex : 3 3 2 2 ) ( , ) ( x x x x − = − = − ...). Si on aboutit à l’expression de f(x), alors la fonction est paire. Sinon, regarder si on n’aboutit pas à l’expression de –f(x) (le calculer éventuellement). Si c’est le cas, alors la fonction est impaire. Sinon, f n’est ni paire ni impaire. (majorité des cas) Il évident qu’un énoncé du type «montrer que f est paire (ou impaire)» oriente et facilite la recherche En cas de parité ou d’imparité, il suffit d’étudier f seulement sur l’intervalle [ [ 0;+∞ ou ] ] ;0 −∞ , et de compléter son étude : - par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées en cas de parité - par symétrie par rapport à l’origine en cas d’imparité 2-2) Périodicité : Le caractère périodique de la fonction proviendra essentiellement du caractère périodique des fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente sont périodiques de période 2π ), si l’expression de f en contient. Pour démontrer que f est période de période T, calculer f(x+T) en remplaçant dans l’expression de la fonction f, x par x+T et montrer que l’on aboutit à l’expression de f(x) En cas de périodicité de la fonction f, si T est la période, alors il suffira d’étudier f sur un intervalle d’amplitude T (de la forme [ [ T x x + ; ), de ne tracer qu’un «morceau» de la courbe représentative de f, et de compléter cette étude (respectivement ce tracé), par translations successives de vecteur Ti 3) Limites et asymptotes 3-1) Calculs de limites C’est aux bornes (finies ou infinies) de l’ensemble de définition de f que l’on étudie ses limites. Interviennent alors : - Les limites « usuelles » (Tableau des limites usuelles) - Les opérations entre limites (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient, d’une composée). En cas de forme indéterminée, on utilise souvent les résultats : - La limite en ∞ ± d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré - La limite en ∞ ± d’une fraction rationnelle (quotient de 2 polynômes) est celle du quotient simplifié des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur Page 2/4 jgcuaz@hotmail.com - Pour les expressions faisant intervenir les radicaux (racines carrées), les méthodes employées suivent : -La factorisation par le terme du plus haut degré d’un polynôme figurant sous une racine carrée, ceci dans le but de « sortir de la racine » ce terme -La factorisation entre des termes « avec radicaux » et des termes « sans radicaux » -La multiplication par la quantité conjuguée en cas de forme indéterminée. 3-2) Asymptotes Connaître le comportement asymptotique d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition permet d’aider à tracer sa courbe représentative 3-2-1) asymptotes verticales - S’il existe un nombre a de l’ensemble de définition tel que ±∞ = → ) ( lim x f a x , alors la droite d’équation x a = est asymptote verticale à la courbe f C .Il est alors essentiel d’étudier les limites de f « à droite et à gauche » de a ( ) ( lim x f a x + → et ) ( lim x f a x − → ou encore lim ( ) x a x a f x → > et lim ( ) x a x a f x → < ). Les résultats différent souvent. 3-2-2) asymptotes horizontales - S’il existe un réel l tel que l x f x = ±∞ → ) ( lim , alors la droite d’équation y l = est asymptote horizontale à la courbe f C en +∞ , −∞ ou les deux 3-2-3) asymptote oblique S'il existe deux nombres réels a et b tels que lim ( ) ( ) 0 x f x ax b →±∞ − + = , alors la droite d’équation y ax b = + est asymptote oblique à la courbe f C en +∞ , −∞ ou les deux Il évident qu’un énoncé du type «montrer que la droite d'équation y ax b = + (pour des valeurs de a et b données) est asymptote à la courbe en +∞ » facilite la recherche d’une telle asymptote. On trouve aussi des énoncés « Déterminer 3 réels a, b et c tels que ( ) 2 c f x ax b x = + + − » Enfin, si l’écriture de f se présente sous la forme ( ) ( ) f x ax b x ε = + + avec lim ( ) 0 x x ε →±∞ = (c’est le cas dans l’exemple ci- dessus), alors puisque ( ) ( ) ( ) f x ax b x ε − + = , on a lim ( ) ( ) 0 x f x ax b →±∞ − + = , donc on peut affirmer que la droite d’équation y ax b = + est une asymptote oblique à la courbe représentative de f 3-3) Position de la courbe par rapport aux asymptotes Soit ∆ une droite d’équation b ax y + = asymptote (horizontale si 0 a = ou oblique si 0 a ≠ ) à la courbe représentative de la fonction Cf . Pour étudier la position relative de ∆ et de Cf , on doit étudier le signe de la différence ) ( ) ( b ax x f + − (qui est le signe de ) (x ε dans le cas d’une asymptote oblique, voir 3-2-3)), signe qui dépend en général de x. Pour les valeurs de x telles que ( ) ( ) 0 f x ax b − + > , c'est à dire ( ) ( ) f x ax b > + , Cf est au dessus de ∆ .. Pour les valeurs de x telles que ( ) ( ) 0 f x ax b − + < , c'est à dire ( ) ( ) f x ax b < + , Cf est en dessous de ∆ .. 4) Variations de la fonction On doit chercher les intervalles de Df sur lesquels f est strictement croissante ou décroissante (voire constante) 4-1) Sans utiliser le calcul différentiel Certains résultats généraux permettent de conclure sur le sens de variation des fonctions : - La somme de deux fonctions croissantes sur un même intervalle I est croissante sur cet intervalle I. - La somme de deux fonctions décroissantes sur un même intervalle I est décroissante sur cet intervalle I. - Si : f I J → et : g J K → ont même sens de variation, alors la composée g f est croissante. Si f et g ont des sens de variations contraires, alors leur composée est décroissante 4-2) En utilisant les dérivées - Déterminer les sous-ensembles de Df sur lesquels f est dérivable Les polynômes sont dérivables sur ℝ, les fonctions rationnelles sur chaque intervalle de leur ensemble de définition, la uploads/s3/ comment-etudier-une-fonction.pdf