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2014 ISSAE, Le cnam-Liban MVA005 CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL Cours et Exerc

2014 ISSAE, Le cnam-Liban MVA005 CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL Cours et Exercices Noureddine ASSAAD Docteur ès sciences physiques et Mathématiques Chef de cellule des sciences physiques et Mathématique Membre du laboratoire international de laser (Kharkov ) TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE AVANT-PROPOS PAGE II CHAPITRE 1 LES NOMBRES COMPLEXES PAGE 1 1.1 Généralités 1 1.2 Déﬁnition et propriétés 3 1.2.1 Représentation d’un nombre complexe 3 1.2.2 Module et argument 4 1.2.3 Nombres complexes particuliers 5 1.3 Opérations sur les nombres complexes 5 1.3.1 Egalité 6 1.3.2 Multiplication par un nombre réel 6 1.3.3 Addition et soustraction 6 1.3.4 Multiplication et division 7 1.3.5 Rotation 9 1.3.6 Conjugué d’un nombre complexe 10 1.4 Formule de De Moivre 11 1.5 Racines d’un nombre complexe 11 1.6 Exercices 12 CHAPITRE 2 FONCTIONS D’UNE VARIABLE RÉELLE PAGE 15 2.1 Notion de Variable 15 2.1.1 Ensemble des nombres réels 15 2.1.2 Valeur absolue 17 2.1.3 Constantes et variables 18 2.1.4 Intervalles 18 2.2 Fonction 19 2.2.1 Représentation des fonctions 20 2.2.2 Représentation analytiques des fonctions 21 2.2.3 Classiﬁcations des fonctions 27 2.2.4 Construction des fonctions 32 2.3 Notion de limite 34 2.3.1 Voisinage d’un point 35 2.3.2 Tangente 36 2.3.3 Limite en un point 36 2.3.4 Extensions de la notion de limite 38 2.3.5 Limites de fonctions usuelles 42 2.3.6 Formes indéterminées 43 i Le Cnam-Liban ii Dr. N. A. Assaad 2.4 Continuité 45 2.4.1 Continuité en un point 46 2.4.2 Théorèmes de continuité 46 2.4.3 Prolongement par continuité 47 2.4.4 Continuité sur un segment 47 2.5 Fonction inverse ou réciproque 48 2.5.1 Fonctions trigonométriques inverses 49 2.5.2 Fonctions hyperboliques inverses 51 2.6 Exercices 53 CHAPITRE 3 DÉRIVÉE ET DIFFÉRENTIELLE PAGE 61 3.1 Le taux de variation 61 3.1.1 Croissance de bactérie 62 3.1.2 Vitesse instantanée 63 3.1.3 Tangente en un point 64 3.2 Dérivée 65 3.2.1 Fonction dérivable 68 3.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables 70 3.2.3 Relation liant les dérivées de deux fonctions réciproques 73 3.2.4 Dérivées d’ordres supérieurs 73 3.3 Différentielle d’une fonction à une variable 73 3.3.1 Interprétation géométrique de la différentielle 74 3.3.2 Différentielle d’ordre supérieur 74 3.4 Applications 74 3.4.1 Tangente et normale sur une courbe 75 3.4.2 Analyse des fonctions 77 3.4.3 Optimisation 82 3.5 Développement limité 83 3.5.1 Théorèmes relatifs aux fonctions dérivables 84 3.5.2 Formules de Taylor 87 3.5.3 Développements limités 89 3.5.4 Utilisations des développements limités 95 3.6 Exercices 103 CHAPITRE 4 CALCUL INTÉGRAL PAGE 113 4.1 Notion de primitive, intégrale indéﬁnie 113 4.1.1 Intégrale indéﬁnie 114 4.1.2 Primitives usuelles 115 4.2 Méthodes générales de calcul 116 4.2.1 Changement de variable 116 4.2.2 Intégration par parties 118 4.2.3 Intégrations de quelques types de fonctions rationnelles 120 4.2.4 Intégration des fonctions trigonométriques 129 4.3 Intégrales déﬁnies 132 4.3.1 Propriétés 134 4.3.2 Calcul de l’intégral déﬁnie 136 Calcul différentiel et intégral MVA005 Le Cnam-Liban iii Dr. N. A. Assaad 4.4 Applications du calcul intégral 138 4.4.1 Calcul des aires limitées par courbe 138 4.4.2 Longueur d’un arc 140 4.4.3 Aire et volume d’un solide de révolution 142 4.4.4 Centre de gravité 145 4.4.5 Moment d’inertie 148 4.5 Exercices 149 CHAPITRE 5 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PAGE 155 5.1 Equations différentielles du premier ordre 156 5.1.1 Déﬁnition et classiﬁcation 156 5.1.2 Equations à variables séparables 158 5.1.3 Equations homogènes 159 5.1.4 Equations se ramenant aux équations homogènes 161 5.1.5 Equations linéaires du premier ordre 162 5.1.6 Equations des types spéciaux 166 5.2 Equations différentielles du second ordre 171 5.2.1 Equations différentielles se ramenant au premier ordre 171 5.2.2 Equations linéaires à coefﬁcients Variables 172 5.2.3 Equations linéaires à coefﬁcients constantes 176 5.3 Applications 181 5.3.1 Variation de température 181 5.3.2 Circuit R,L 183 5.3.3 Oscillateurs 185 5.4 Exercices 187 CHAPITRE 6 SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES PAGE 192 6.1 Suite numérique 192 6.1.1 Limite d’une suite. Convergence et divergence 193 6.1.2 Déﬁnition par récurrence 197 6.1.3 Suites bornées 198 6.1.4 Suite monotone 198 6.1.5 Quelques limites usuelles 199 6.2 Séries numériques : Déﬁnitions 201 6.2.1 Série géométrique 202 6.2.2 Théorèmes généraux 203 6.2.3 Test de convergence 204 6.2.4 Séries alternées 207 6.3 Représentation des fonctions en série 207 6.3.1 Série de puissance 208 6.3.2 Série de Taylor 209 6.4 Exercices 211 CHAPITRE A FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES PAGE 214 A.1 Les FonctionsTrigonométriques 214 A.1.1 Fonctions standards 215 Calcul différentiel et intégral MVA005 Le Cnam-Liban iv Dr. N. A. Assaad A.1.2 Valeurs des Fonctions des angles particuliers 215 A.1.3 Intervalles des valeurs 215 A.1.4 Graphes 216 A.1.5 Fonctions des angles en Terms des angles du Quadrant I 216 A.2 IdentitésTrigonométriques 217 A.2.1 Identités de Pythagore 217 A.2.2 Déﬁnitions 217 A.2.3 Périodicité 217 A.2.4 Formules d’Addition 217 A.2.5 Théorème de sinus et lois de cosinus 218 A.2.6 Lois de Tangente 219 A.2.7 Fonctions hyperboliques 219 A.2.8 Relations avec les fonctions trigonométriques 219 A.2.9 Fonctions réciproques 220 A.2.10 L’alphabet grec 220 CHAPITRE B DÉRIVÉES PAGE 221 B.1 Déﬁnition 221 B.2 Règles de Différentiation 221 B.3 Formules de Dérivation 221 B.3.1 Fonctions Algébriques 222 B.3.2 Fonctions Trigonométriques 222 B.3.3 Fonctions Trigonométriques Inverses 222 B.3.4 Fonctions Exponentielles et Logarithmiques 222 B.3.5 Fonctions Hyperboliques 223 B.3.6 Fonctions Hyperboliques Inverses 223 CHAPITRE C TABLE DES INTÉGRALES PAGE 224 C.1 Primitives usuelles 224 C.2 Racines des Expressions Quadratiques 225 C.2.1 Formes avec √ a2 + u2, a > 0 225 C.2.2 Formes avec √ a2 −u2, a > 0 225 C.2.3 Formes avec √ u2 −a2, a > 0 226 C.2.4 Formes avec √ 2au −u2 226 C.2.5 Formes avec a + bu 226 C.2.6 Fonctions Trigonométriques 227 C.2.7 Fonctions Trigonométriques Inverses 228 C.2.8 Fonctions Exponentielles et Logarithmiques 229 C.2.9 Fonctions Hyperboliques 229 CHAPITRE D LONGUEURS, SURFACES, VOLUME PAGE 230 D.1 Polygone régulier de n côtés 230 D.2 Cercle 231 D.3 Autres formes géométriques 232 Calcul différentiel et intégral MVA005 Avant-propos C E cours couvre le programme de l’UE : MVA005 : Calcul différentiel et intégral, du cnam. Il s’adresse en premier lieu aux étudiants de premier cycle des ﬁlières Statis- tique, Mécanique des structures, Génie civil et Electromécanique, mais il s’adresse également aux étudiants en mathématique et en physique orientés vers les applica- tions. Les sujets traités dans ce livre sont : Les fonctions usuelles (limite, continuité, dériva- bilité, développements limités ) , calcul intégral, équations différentielles, suites et séries numériques. Ces sujets sont classiques et servent normalement de base à la réalisation de tout d’analyse de même niveau. Le cours est agrémenté de nombreux Exemples et Applications Chaque chapitre est suivi d’une séries des exercices illustrent systématiquement les no- tions discutés dans le cours, et ils aident l’étudiant à tester sa compréhension du cours, lui permettent d’approfondir sa connaissance des notions exposées... Mais, des autres T.D. peuvent être traités en classe. Ces notes de cours sont des clés, des autres ressources sont bien nécessaires pour une connaissance plus approfondie Malgré de très nombreuses relectures il restera toujours des fautes. N’hésitez pas à me signaler les différentes erreurs. Ces notes de cours sont rédigés avec Scientiﬁc WorkPlace 5.5 (Build 2960). Des "Latex packages" non inclues dans Scientiﬁc WorkPlace sont ajoutés N. ASSAAD. Le cnam-Liban 2014 v Chapitre 1 Les nombres complexes L A notion de nombre complexe a été introduite par les mathématiciens italiens Jé- rôme Cardan, Raphaël Bombelli et Tartaglia comme intermédiaire de calcul pour trouver des solutions aux équations polynomiales du troisième degré. Il semble- rait que ce soit Héron d’Alexandrie qui ait inventé le nombre impossible. L’aspect géométrique des nombres complexes ne se développe qu’à partir du XIXe siècle chez l’abbé Buée et Jean-Robert Argand (plan d’Argand), puis ensuite chez Carl Friedrich Gauss et chez Augustin Louis Cauchy. La notion complexe et ses propriétés sont très utiles dans divers domaines de physique : 1. En électricité : Fonctionnement d’un circuit en régime sinusoïdal forcé. 2. En optique : Etude des interférences et de diffractions lumineuses et les ondes électro- magnétiques. 3. En mécanique : Régime sinusoïdal forcé d’un oscillateur harmonique, les phénomènes vibratoires. 1.1 Généralités Considérons l’ensemble R2 = {(x, y) avec x ∈R et y ∈R} . On déﬁnit sur R2 les deux lois de composition interne : – L’addition (+) : (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) – La multiplication (·) : (x, y) · (x′, y′) = (xx′ −yy′, xy′ + yx′) On démontre que la structure R2, +, · est un corps commutatif En effet les deux lois (+) et (·) sont : – commutatives – associatives – chacune admet un élément neutre – chaque élément de R2 admet un symétrique ( sauf (0, 0) pour la multiplication) – et la multiplication est distributive par rapport à l’addition. - De plus si a est un nombre réel, alors pout tout (x, y) ∈R2 on a : a (x, y) = (ax, ay) 1 Le Cnam-Liban 2 Dr. N. A. Assaad Considérons en particulier les éléments de la forme (x, 0) et (0, y) , chaque couple (x, y) s’exprime sous la forme : (x, y) = (x, 0) + (0, y) et de plus (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) uploads/s3/ cours-mva005-2014.pdf