TD ϕ 11 : Filtrage Exercice 1 : Filtrage par un premier ordre 1. Rappeler la fo

TD ϕ 11 : Filtrage Exercice 1 : Filtrage par un premier ordre 1. Rappeler la forme canonique de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre, de pulsation de coupure ω0 et de gain statique 1. 2. Quelle est la sortie du montage si l’entrée vaut e(t) = E sin3(ω0t) ? Exercice 2 : Filtre à pont de Wien On étudie le filtre ci-dessous, constitué de deux condensateurs de même capacités C et de deux résistors de même résistance R. 1. Faire une étude asymptotique du filtre. 2. Exprimer sa fonction de transfert sous forme canonique et donner l’expression du gain maximal, de la pulsation de résonance ainsi que du facteur de qualité. 3. Tracer les diagrammes de Bode. 4. En remarquant que les pulsations de coupure vérifient x −1 x = ±3, calculer le déphasage en ces valeurs. Exercice 3 : Etude d’un diagramme de Bode On étudie un filtre constitué d’un condensateur de capacité C, d’une bobine d’inductance L et d’un résistor de résistance R associés en série. Le diagramme de Bode en gain et en phase de ce filtre est représenté ci-dessous. 1. A partir de la lecture du diagramme de Bode : (a) Justifier la nature de ce filtre et représenter le schéma du circuit. (b) Evaluer la fréquence de résonance, les fréquences de coupure et le facteur de qualité. (c) Sachant que R = 100Ω, calculer L et C. 2. On envoie en entrée du filtre un signal : e(t) = E (cos(0.1ωt) + cos(ωt) + cos(10ωt)) avec ω = 1885rad.s−1 Exprimer le signal de sortie s(t). MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon TD ϕ 11 : page 1 S.ROGNERUD Exercice 4 : Filtre RC On étudie le filtre ci-dessous : 1. En effectuant un schéma équivalent en basse fréquence puis en haute fré- quence, déterminer sans calculs le type de ce filtre. 2. Déterminer la fonction de transfert H de ce filtre en fonction de R et C. 3. Déterminer sa pulsation de coupure ωc en fonction de R et C. 4. On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode en gain de ce filtre. Détermi- ner un ordre de grandeur du produit RC. Exercice 5 : Filtre ADSL Un ingénieur, plus doué en électronique qu’en informatique, vient de casser son filtre ADSL. Il souhaite du coup en fabri- quer un lui-même. Les signaux transmis par une ligne télé- phonique utilisent une très large gamme de fréquences divisée en deux parties : les si- gnaux téléphoniques (transmettant la voix) utilisent les fréquences de 0 à 4 kHz ; les si- gnaux informatiques (Internet) utilisent les fréquences de 25 kHz à 2 MHz. 1. Quel type de filtre faut-il utiliser pour récupérer seulement les signaux téléphoniques ? Les signaux informatiques ? Quelle fréquence de coupure fc peut-on choisir ? 2. Déterminer la nature du filtre grâce à son comportement asymptotique. En déduire pour quels signaux il peut être utilisé. 3. Montrer que la fonction de transfert de ce filtre peut se mettre sous la forme : H(x) = −x2 1+3jx−x2 avec x = ω ω0 et ω0 à déterminer en fonction de R et L. 4. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, puis esquisser l’allure de la courbe réelle de gain en la justifiant. 5. L’ingénieur possède des résistance de 100Ω. Quelle valeur d’inductance doit-il choisir pour réaliser le filtre souhaité ? MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon TD ϕ 11 : page 2 S.ROGNERUD Exercice 6 : Filtre de Colpitts On considère le quadripôle suivant, où C est une capacité, R une résistance et L une inductance. Il est utilisé en régime sinusoï- dal forcé. 1. Etudier qualitativement le comportement de ce quadripôle en haute fréquence et en basse fréquence. De quel type de filtre s’agit-il ? 2. Déterminer la fonction de transfert H = US Ue et la mettre sous l’une des deux formes équivalentes : H = A 1 + jQ  ω ω0 −ω0 ω  = j A Q ω ω0 1 −ω2 ω2 0 + j Q ω ω0 En introduisant des constantes A, ω0 et Q dont on précisera les expressions en fonction de R, C et L. 3. Tracer le diagramme de Bode de ce quadripole, en prenant la valeur Q = 0.1. On cherchera tout d’abord les équations des asymptotes des deux courbes, et on fera apparaître les valeurs correspondant à ω = ω0. 4. Un circuit multiplieur fournit le signal d’entrée ue(t) = 2A cos(100ω0t) cos(101ω0t). Ecrire ue(t) sous forme d’une somme de cosinus. En déduire le signal obtenu à la sortie de ce filtre. Exercice 7 : Filtre On considère le filtre ci-dessous. On pose ω0 = 1 RC. 1. Quelle est la nature du filtre ? 2. Calculer la fonction de transfert. 3. Tracer l’allure des diagrammes de Bode. Quel est le facteur de qualité ? 4. Etudier la reponse du système à un signal carré, puis triangulaire. Exercice 8 : Filtrage d’un signal périodique 1. Un filtre passe-bas du premier ordre possède une fréquence de coupure fc. On envoie en entrée de ce filtre une tension créneau oscillant entre 0 et 4V , de fréquence f. (a) Tracer l’allure du spectre du signal d’entrée. (b) Tracer l’allure de la tension de sortie dans les cas f << fc et f >> fc. 2. Reprendre la question précédente dans le cas où le filtre est un passe-haut du premier ordre de fréquence de coupure fc. MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon TD ϕ 11 : page 3 S.ROGNERUD Exercice 9 : Filtre RC Soit le filtre suivant : 1. Déterminer la fonction de transfert du filtre. Vérifier les comportements en haute et en basse fréquences. Quelle est la nature du filtre ? 2. Tracer le diagramme de Bode pour R = 1kΩet C = C′ = 1nF. 3. Quelle est la pulsation de coupure ωc ? 4. Déterminer le signal de sortie si l’on injecte à l’entrée la tension définie par : e(t) = 5 + 3 cos  ωt + π 3  + sin(ωt) On traitera les cas où ω = 0.ωc et ω = 10ωc. Exercice 10 : Association de filtres On met en cascade deux filtres RC. 1. Déterminer la nature de chacun des filtres. Calculer les fonction de transfert H(jω) et H′(jω) pour chaque filtre pris séparément. Que vaut le produit H(jω)H′(jω) ? 2. Déterminer la fonction de transfert Hc(jω) du filtre complet. Quelle est sa nature et son ordre ? Peut-on confondre le produit des fonctions de transfert de chaque filtre avec la fonction de transfert du système ? Commenter. 3. Donner l’allure du diagramme de Bode asymptotique pour R = R′ et C = C′. Exercice 11 : Quadripôle Un quadripôle est constitué de 2 dipôles D1 et D2, et contient une résistance R, une bobine L et un condensateur C. On relie tout d’abord l’entrée à une pile de f.é.m. E0 = 15V (la sortie étant ouverte), et on mesure au bout d’un temps très long un courant d’intensité I0 = 15mA. On remplace le générateur continu par un générateur sinusoïdal, et on observe que l’on est en présence d’un filtre passe-bande dont le gain maximal est atteint pour une fréquence f0 = 1.16kHz et dont la bande passante est ∆f = 340Hz. 1. Montrer que le condensateur ne peut pas être branché en série. 2. Identifier alors D1 et D2 en expliquant proprement la méthode. 3. Calculer alors la valeur numérique des composants électroniques R, L et C. 4. On envoie maintenant en entrée un signal carré. Déterminer l’allure du signal de sortie selon que la fréquence est très petite, ou très grande. Justifier. 5. On envoie maintenant en entrée un signal triangle. Déterminer l’allure du signal de sortie selon que la fréquence est très petite, ou très grande. Justifier. MPSI 3, Lycée Carnot, Dijon TD ϕ 11 : page 4 S.ROGNERUD uploads/s3/ td-11-filtrage.pdf

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