Exercices de mathématiques – MPSI Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/202

Exercices de mathématiques – MPSI Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022 P Exercices d’application directe du cours ou calculs directs. Utilisez-les pour apprendre votre cours. ® Résultats ou méthodes utiles sur le long terme. À retenir, si possible.  Exercices difficiles ou peu guidés. Les plus costauds doivent les chercher. 1 Table des matières Feuille n° 01 : Trigonométrie et nombres imaginaires 3 Feuille n° 02 : Fonctions usuelles 5 Feuille n° 03 : Sommes et calculs 8 Feuille n° 04 : Quelques fondamentaux 10 Feuille n° 05 : Nombres complexes 12 Feuille n° 06 : Équations différentielles 14 Feuille n° 07 : Théorie des ensembles 16 Feuille n° 08 : Notion d’application 18 Feuille n° 09 : Calcul matriciel 20 Feuille n° 10 : Relations d’ordre et d’équivalence, et ensembles de nombres usuels 22 Feuille n° 11 : Arithmétique 24 Feuille n° 12 : Suites 26 Feuille n° 13 : Groupes, anneaux, corps 29 Feuille n° 14 : Limite d’une fonction 31 Feuille n° 15 : Continuité 33 Feuille n° 16 : Polynômes 36 Feuille n° 17 : Dérivation 38 Feuille n° 18 : Fractions rationnelles 41 Feuille n° 19 : Espaces vectoriels 43 Feuille n° 20 : Analyse asymptotique 45 Feuille n° 21 : Applications linéaires et familles de vecteurs 50 Feuille n° 22 : Intégration 52 Feuille n° 23 : Dénombrement 56 Feuille n° 24 : Espaces vectoriels de dimension finie 58 Feuille n° 25 : Probabilités 61 Feuille n° 26 : Matrices et applications linéaires 66 Feuille n° 27 : Déterminants 70 Feuille n° 28 : Séries numériques 73 Feuille n° 29 : Espaces euclidiens 76 Feuille n° 30 : Fonctions de deux variables 79 2 Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022 MPSI - Mathématiques Premier Semestre Feuille d’exercice n° 01 : Trigonométrie et nombres imaginaires Exercice 1 (P) Résoudre dans R les équations suivantes : 1) sin x = 1 2 2) tan x = √ 3 3) cos x = −1 4) sin(3x) = 1 5) cos(4x) = −1 6) sin(x) cos(x) = 1 4 Exercice 2 (P) Résoudre les équations suivantes : 1) tan(2x) = 1 2) sin x + cos x = r3 2 3) cos(5x) = cos(2π/3 −x) 4) sin(x + 3π/4) = cos(x/4) 5) cos(x + π/6) cos(x −π/6) = 1 2 6) sin x + √ 3 cos x = 1 Exercice 3 () Résoudre l’équation sin(3x) cos3(x) + sin3(x) cos(3x) = 3 4. Exercice 4 Résoudre sur R les inéquations suivantes : 1) tan x ⩾1 2) cos x 3  ⩽sin x 3  3) 2 sin2 x ⩽1 4) cos2 x ⩾cos(2x) Exercice 5 (®) Pour quelles valeurs de m l’équation √ 3 cos x −sin x = m admet-elle des solutions ? Les déterminer lorsque m = √ 2. Exercice 6 On cherche à déterminer tous les réels t tels que cos t = 1 + √ 5 4 . 1) Démontrer qu’il existe une unique solution dans l’intervalle ]0, π/4[. Dans la suite, on notera cette solution t0. 2) Calculer cos(2t0), puis démontrer que cos(4t0) = −cos(t0). 3) En déduire t0. 4) Résoudre l’équation. Exercice 7 Soit x, y ∈]0, π/2[ tels que tan x = 1 7 et tan y = 2. 1) En utilisant tan(x + 2y), calculer x + 2y. 2) Calculer cos(2y). Exercice 8 Résoudre cos4 x + sin4 x = 6 + √ 3 8 . 3 Exercice 9 (P) Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants. 1) 1 + 2i 3 −4i 2) 1 (1 + 2i)2 3) (1 + i)3 (1 −i)2 4) 1 + i 3 −i + 1 −i 3 + i 5) 1 1 + 2 i 6) (1 + (1 + (1 + 2i)2)−1) Exercice 10 Montrer que pour tout (a, b, c, d) ∈Z4, il existe (m, n) ∈Z2 tel que (a2 + b2)(c2 + d2) = m2 + n2. Exercice 11 (P) Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants. 1) √ 3 −i 11 2) (−1 + i)17 3)  1 + i √ 3 −42 Exercice 12 Soit θ ∈R\2πZ, z = 1 + cos θ + i sin θ 1 −cos θ −i sin θ. Calculer Re z, Im z, |z|, arg z. Exercice 13 Soient z1 et z2 deux complexes de module 1, tels que 1 + z1z2 ̸= 0. Montrer que z1 + z2 1 + z1z2 ∈R. Exercice 14 Soit a ∈[0; 2π[ et n un entier naturel. Déterminer le module et l’argument de : (1+ie ia)n. 4 Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022 MPSI - Mathématiques Premier Semestre Feuille d’exercice n° 02 : Fonctions usuelles Exercice 1 (P) Factoriser les expressions suivantes, puis déterminer le tableau de signes de chacune. 1) f(x) = x3 −2x2 −11x + 12 2) g(x) = x ln(x) −x −2 ln(x) + 2 3) ϕ(x) = x + 8 − 16 x −7 4) ψ(x) = xe x + 3e x −2x −6 Exercice 2 (P) Dériver et dresser les tableaux de variations des fonctions suivantes. 1) f : x 7→x2e x 2) g : x 7→ x ln(x) −1 3) ϕ : x 7→ln |x| 4) ψ : x 7→3 ln |x −2| + 2 ln |x + 3| Exercice 3 (P) 1) Montrer que la somme de deux applications croissantes est croissante. 2) La somme de deux applications monotones est-elle nécessairement monotone ? 3) Le produit de deux applications croissantes est-il nécessairement une application croissante ? Exercice 4 (P) Déterminer le domaine de définition, de g ◦f dans chaque cas. 1) f : x 7→1 + 3 x −5 et g = √·. 2) f = cos et g : x 7→1 x 3) f : x 7→x + 3 ln(x) et g = exp. 4) f = sin et g = ln. Exercice 5 Soit f : R →R telle que f ◦f est croissante tandis que f ◦f ◦f est strictement décroissante. Montrer que f est strictement décroissante. Exercice 6 Résoudre dans R2 le système ( 23x+2y = 5 42x = 22y+3 . Exercice 7 Résoudre l’équation ln x + 3 4 = 1 2(ln x + ln 3). Exercice 8 (P®) Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes. 1) f : x 7→sin(Arcsin x) 2) g : x 7→Arcsin(sin x) 5 Exercice 9 (P) Simplifier les expressions suivantes. 1) Arcsin  − √ 3 2  2) Arccos  cos 2π 3  3) Arccos  cos  −2π 3  4) Arccos (cos 4π) 5) Arctan  tan 3π 4  6) sin (Arccos x) 7) tan (Arcsin x) 8) cos (Arctan x) Exercice 10 (®) Démontrer les inégalités suivantes. 1) Pour tout a ∈]0, 1[, Arcsin a < a √ 1 −a2 . 2) Pour tout a ∈R∗ +, Arctan a > a 1 + a2 . Exercice 11 1) Soit x ∈[0, π/8[. Exprimer tan(4x) en fonction de tan(x). 2) En déduire la formule de Machin : π 4 = 4 Arctan 1 5 −Arctan 1 239. Remarque : John Machin a pu calculer 100 décimales de π à la main en 1706 grâce à cette relation. Exercice 12 Figure 1 – La statue Une statue de hauteur s est placée sur un piédestal de hauteur p. À quelle distance du pied de la statue un observateur (dont la taille est supposée négligeable) doit-il se placer pour la voir sous un angle maximal (i.e. pour avoir θ maximal, avec les notations de la figure 1) ? Exercice 13 (®) Sur quelle partie de R est définie l’équation Arccos x = Arcsin(1−x) ? La résoudre. Exercice 14 On définit les deux fonctions f et g par f : x 7→Arctan  1 2x2  et g : x 7→ Arctan  x x + 1  −Arctan x −1 x  . 1) Déterminer leurs ensembles de définition. 2) Calculer, lorsque cela est possible, leurs dérivées. 3) Que peut-on en déduire concernant f(x) et g(x) ? Donner le maximum de précisions. 4) Tracer les courbes représentatives de f et de g (sur un même schéma). 6 Exercice 15 (®) Calculer Arctan 1 2 + Arctan 1 5 + Arctan 1 8. Exercice 16 () Résoudre : Arcsin 2x = Arcsin x + Arcsin  x √ 2  . Exercice 17 Soit la fonction f :  −π 2 , π 2  − → R x 7− → ln  tan π 4 + x 2  . Montrer que f est bien définie et que l’on a les relations suivantes, pour tout x ∈  −π 2 , π 2  . 1) th f(x) 2  = tan x 2  2) th(f(x)) = sin(x) 3) ch (f(x)) = 1 cos(x) 4) sh (f(x)) = tan(x). Exercice 18 Soit (a, b) ∈R2. Résoudre l’équation a ch x + b sh x = 0. 7 Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022 MPSI - Mathématiques Premier Semestre Feuille d’exercice n° 03 : Sommes et calculs Exercice 1 (P®) Soient a1, uploads/s3/ tdintegrale.pdf

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